1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值必备知识自主学习1.极小值点与极小值(1)函数特征：函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的 函数值_，且f(a)0.(2)导数符号：在点xa附近的左侧f(x)0.(3)结论：_叫做函数yf(x)的极小值点，_叫做函数yf(x)的极小值 导思1.什么是函数的极小(大)值点？2什么是函数的极小(大)值？如何求函数的极值？都小 点af(a)2极大值点与极大值(1)函数特征：函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的 函数值都大，且f(b)0.(2)导数符号：在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x
2、)0，右侧 f(x)0，则 f(x)在 xx0 处取得极大值；若在 x0 的左侧 f(x)0，则 f(x)在 xx0 处取得极小值，设 yf(x)图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f(x)在 xx1，xx3 处取得极大值，在 xx2，xx4 处取得极小值3函数 f(x)x2cos x 在0，2上的极大值点为()A.0 B6 C3 D2【解析】选 B.f(x)12sin x令 f(x)0，因为 x0，2，所以 x6，当 x6，2时 f(x)0，当 x0，6时，f(x)0.所以 x6 是 f(x)在0，2上的极大值点关键能力合作学习类型一 求函数的极值(点)(数
3、学抽象、数学运算)1函数 y2x2x3 的极值情况是()A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选 D.y2x3x2，令 y0，得 x123，x20.当 x23 时，y0；当23 x0；当 x0 时，y0，当 x(1，2)时，f(x)0.满足函数 f(x)在 x2 处取得极小值故 a1.(2)由 f(x)13 x312(a2)x22ax13，得 f(x)x2(a2)x2a.令 f(x)0，得 x2 或 xa.当 a2 时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；当 a0，解得 x2，由 f(x)0，解得 ax2 时，由 f(x)0
4、，解得 xa，由 f(x)0，解得 2xa，所以函数 f(x)在(，2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减综上：当 a2 时，函数 f(x)在(，)上单调递增；当 a2 时，函数 f(x)在(，2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减类型三 函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度 1 已知极值点求参数值【典例】若函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处取得极值 10，则 a_，b_【思路导引】先由 x1 处取得极值 10，即 f(1)0 且 f(1)10，进而即可求出 a，b的值【解析】f(x)3x22axb，依题意得f（1）10，f（1）0，即a2ab9，2ab
5、3，解得a4，b11或a3，b3.但由于当 a3，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，故 f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x1 处取得极值，所以a3，b3不符合题意，应舍去而当a4，b11时，经检验知符合题意，故 a，b 的值分别为 4，11.答案：4 11 本例条件不变，试求 f(x)的极大值【解析】由典例可知 f(x)x34x211x16，f(x)3x28x11，显然，当 x，113时，f(x)0，当 x113，1时，f(x)0，f（1）1（m3）m60，m321，解得 m3.故实数 m 的取值范围是(3，).课堂检测素养达标1函数 f(x)x44 x33 的极值点为()A
6、0 B1 C0 或 1 D1【解析】选 D.因为 f(x)x3x2x2(x1)，由 f(x)0 得 x0 或 x1.又当 x1 时 f(x)0，0 x1 时 f(x)0，所以 1 是 f(x)的极小值点又 x0 时 f(x)0，故 x0 不是函数的极值点2(教材练习改编)如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象，则下列说法正确的是()Axa 是函数 yf(x)的极小值点B当 xa 或 xb 时，函数 f(x)的值为 0C函数 yf(x)关于点(0，c)对称D函数 yf(x)在(b，)上单调递增【解析】选 D.结合导数与函数单调性的关系可知，A 中，在 xa 附近，f(x)0，故xa 不
7、是极小值点；B 中，导数为 0 时，函数值不一定为 0；C 中，导函数的对称性与原函数的对称性没有关系；D 中，当 xb 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增3设函数 f(x)xex，则()Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点【解析】选 D.令 yexxex(1x)ex0，得 x1.当 x1 时，y0；当 x1 时，y0.故当 x1 时，y 取得极小值4已知函数 f(x)(x2mxm)ex2m(mR，e 是自然对数的底数)在 x0 处取得极小值，则 m_，这时 f(x)的极大值是_【解析】由题意知 f(x)x2(2m)x2mex.由 f(0)2m0，解得 m0.则 f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，令 f(x)0，解得 x0 或 x2，故函数 f(x)的单调递增区间是(，2)，(0，)，单调递减区间是(2，0)，所以函数 f(x)在 x2 处取得极大值，且有 f(2)4e2.答案：0 4e25求函数 f(x)ln xx2的极大值【解析】函数定义域为(0，)，f(x)（ln x）x2ln x（x2）x4x2x ln xx412ln xx3，令 f(x)0，得 x e，当 0 x0，当 x e 时，f(x)0，所以 f(x)在 x e 处取得极大值 f(e)12e.