1、高考资源网（） 您身边的高考专家模块综合测评一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020江苏扬州中学高二月考)函数f(x)=x(ex-1)+ln x的图像在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2ex-e-1B.y=2ex-e+1C.y=2ex+e-1D.y=2ex+e+1答案A解析由函数f(x)=x(ex-1)+ln x,知f(1)=e-1,f(x)=ex-1+xex+,所以k=f(1)=2e,在点(1,f(1)处的切线方程是y-(e-1)=2e(x-1),化简得y=2ex-e-1.2.(2020河北武邑宏达学校高一月
2、考)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则=()A.1B.-1C.2D.答案A解析在等差数列an中,由,得=1,故选A.3.(2020山东济南高三模拟)张丘建算经中有这样一道题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.此题中若记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a17的值为()A.56B.52C.28D.26答案D解析由题得,an为等差数列,首项a1=5,设公差为d,故S30=30a1+d=390,解得d=,故a14+a17=2a
3、1+29d=26.故选D.4.(2020河北元氏第一中学高一期中)已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=2,S7=28,则数列的前2 020项和为()A.B.C.D.答案A解析由题意,设等差数列an的公差为d,则解得数列an的通项公式为an=1+(n-1)1=n,nN+.设数列的前n项和为Tn,则Tn=+=1-+=1-.T2 020=.故选A.5.用数学归纳法证明不等式+的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是()A.B.C.D.答案B解析当n=k时,左边的代数式为+,当n=k+1时,左边的代数式为+,故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果,即为不等式
4、的左边增加的项,故选B.6.(2020江西石城中学高二月考)已知函数f(x)=x+sin x,xR,若a=f(lo3),b=f(lo2),c=f(2-2),则a,b,c的大小为()A.abcB.bcaC.cbaD.bac答案C解析f(x)=1+cos x0,所以f(x)是R上的增函数.lo3=-log23lo2=-log32-log33=-1,2-20,所以c=f(2-2)b=f(lo2)a=f(lo3),故选C.7.数列an满足a1=1,a1+2a2+2n-1an=2n+1an+1(nN+),若a1+a2+anm恒成立,则m的最小值为()A.4B.2C.D.答案B解析由a1+2a2+2n-1
5、an=2n+1an+1(nN+),可得当n2时,a1+2a2+2n-2an-1=2nan,两式相减可得:,n2.又a1=1,得a2=,所以数列an的通项公式为an=所以当n2时,a1+a2+a3+an=1+=2-n-12,且n=1时,a1=10,得0xe;由g(x)e.函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,g(x)max=g(e)=.作出函数g(x)与函数h(x)的草图,如图所示.由图可知,要使得函数g(x)与函数h(x)的图像至少有一个交点,只需h(x)ming(x)max,即e2-2e2+a,解得ae2+.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的
6、选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.(2020江苏南京江宁高级中学高二期中)已知函数y=f(x)的导函数f(x)的图像如图所示,则下列判断正确的是()A.函数y=f(x)在区间内单调递增B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值答案BC解析对于A,函数y=f(x)在区间内有增有减,故A不正确;对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;对于C,当x(-2,2)时,恒有f(x)0,则函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增,故C正确;对于D
7、,当x=3时,f(x)0,故D不正确.10.(2020山东高三一模)已知数列an的前n项和为S,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,数列的前n项和为Tn,nN+,则下列选项正确的为()A.数列an+1是等差数列B.数列an+1是等比数列C.数列an的通项公式为an=2n-1D.Tn1答案BCD解析由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化为an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1.又,可得Tn=1-+=1-x1f(x2)+x2f(x1),则称函数为“Z函数”,现给出如下函
8、数,其中为“Z函数”的有()A.y=-x3+x+1B.y=3x-2(sin x-cos x)C.y=e2x+ln(2x+e)D.y=答案BC解析对于任意给定的不相等实数x1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,原不等式等价为(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立,设x1x2,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),即函数f(x)是定义在R上的增函数.对于A选项,函数y=-x3+x+1,则y=1-3x2,当x时,y0,所以,函数y=3x-2(sin x-cos x)是增函数,满足条件;对于C选项,对于函数y=ln(2x+e),该函数的
9、定义域为R,内层函数u=2x+e为增函数,外层函数y=ln u为增函数,则函数y=ln(2x+e)为R上的增函数,又因为函数y=e2x为R上的增函数,所以,函数y=e2x+ln(2x+e)为R上的增函数,满足条件;对于D选项,记f(x)=,则f(0)=f(1)=f(2)=0,所以,函数y=在R上不是增函数,不满足条件.故选BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020河南郑州高二期中)已知b为正实数,直线y=x+a与曲线y=ex+b相切,则的取值范围是.答案4,+)解析因为y=ex+b,则y=ex+b.由ex+b=1,得x=-b.当x=-b时,y=1,故切点为(-b,1
10、),将切点代入直线得到1=-b+a,=b+22+2=4,当且仅当b=1时,等号成立.14.(2021北京顺义高三二模)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,S3=2a1,则公差d=,Sn的最大值为.答案-212解析S3=3a1+3d=2a1,即18+3d=12,解得d=-2,所以,Sn=na1+=6n-n(n-1)=-n2+7n=-n-2+,当n=3或4时,Sn取得最大值12.15.(2020四川宜宾叙州区高二期中)已知等比数列an,a2,a6是函数f(x)=x3+9x2+12x+3的两个极值点,则a4=.答案-2或2解析因为f(x)=3x2+18x+12,又a2,a6是函数f(x
11、)的两个极值点,则a2,a6是方程3x2+18x+12=0的根,所以a2a6=4=,所以解得a4=-2或2.16.(2020湖北黄冈中学第五师分校高二期中)已知函数y=f(x)在R上的图像是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数为f(x),当x0时,有不等式x2f(x)-2xf(x)成立.若对任意xR,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)0恒成立,则正整数a的最大值为.答案2解析因为当x0时,有不等式x2f(x)-2xf(x)成立,所以x2f(x)+2xf(x)0,所以x2f(x)0.令g(x)=x2f(x),所以函数g(x)在(0,+)上单调递增,由题意得g(-x)=x2f(-
12、x)=-x2f(x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,所以函数在R上单调递增.因为对任意xR,不等式e2xf(ex)-a2x2f(ax)0恒成立,所以e2xf(ex)a2x2f(ax),所以g(ex)g(ax),所以exax,因为a0,所以当x0时,显然成立.当x0时,a0),所以h(x)=,所以函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以h(x)min=h(1)=e,所以a0,求使得Snan的n的取值范围.解(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)
13、得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.18.(12分)(2020全国,文20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.解(1)f(x)=3x2-k.当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在(-,+)单调递增;当k0,故f(x)在(-,+)单调递增.当k0时,令f(x)=0,得x=.当x-,-时,f(x)0;当x-时,f(x)0.故f(x)在-,-,+单调递增,在-单调递减.(2)由(1)知,当k0时,f(x)在(-
14、,+)单调递增,f(x)不可能有三个零点.当k0时,x=-为f(x)的极大值点,x=为f(x)的极小值点.此时,-k-1-k+1且f(-k-1)0,f0.根据f(x)的单调性,当且仅当f0,即k2-0时,f(x)有三个零点,解得k.因此k的取值范围为0,.19.(12分)(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN+)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所
15、以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm0;当x时,f(x)0.所以f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.(2)证明因为f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,上的最大值为f,最小值为f=-.而f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|.(3)证明由于(sin2xsin22xsin22nx=|sin3xsin32xsin32nx|=|sin x|sin2xsin32xsin32n-1xsin 2nx|sin22nx|=|sin x|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,所以sin2xsin22
16、xsin22nx.22.(12分)已知函数f(x)=2x-ln x+.(1)函数y=f(x)-在(0,1)内有两个不同零点x1,x2(x1x2),求b的取值范围;(2)在第(1)问的条件下,判断当x(x2,1)时,曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.解(1)y=f(x)-2x+-ln x在(0,1)内有两个不同零点x1,x2,所以b=xln x,x(0,1).令(x)=xln x,则(x)=1+ln x,令(x)=0,可解得x=,当x,(x)0,(x)单调递增.所以(x)在x=取得极小值=ln =-.因为x0时,xln x0,且xln x0,所以(x)=xln x的图像大致如图所示.所以当-b0时,方程b=xln x有两解x1,x2,且x10,x2,1,所以-b0.(2)f(x)=2x-ln x+-ln x.由(1),知当-b0,bxln x,所以-ln x,所以0,则f(x)=+-ln x0,所以当x(x2,1)时,曲线y=f(x)位于x轴下方.- 7 - 版权所有高考资源网
