1、几何体的表面积【例1】斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长等于a的正三角形，侧棱长等于b.一条侧棱AA1和底面相邻的两条边AB，AC都成45角，求这个斜三棱柱的侧面积【解析】如图，由于侧棱AA1和底面相邻的两条边AB，AC都成45角，所以点A1在底面ABC内的射影 O 在 BAC 的 平 分 线 AD上由于底面ABC是正三角形，所以BCAD，即BCAO.1111111.45sin452222 2(2+1).BB C CabAAABACSAA B BSAAC CababSababab故侧面是矩形，其面积等于又因为侧棱和底面相邻的两条边，都成角，所以 四边形 四边形，故这个斜三棱柱的侧面积 由于
2、给出的棱柱不是正棱柱，所以在求侧面积时，应对每一个侧面的面积分别进 行 计 算 本 题 的 关 键 是 判 断 侧 面BB1C1C的形状，其中应用了非常重要的结论：从角的顶点出发的一条射线，如果它和角的两边所成的角相等，那么这条射线在角所在平面内的射影在角的平分线上(自己证明)【变式练习1】在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，且AA1与AC，AB所成的角均为60，且A1AAB，求该三棱柱的侧面积111111111111111111222.60./.22sin60(13).AOABCOAAACABA AABOABCAOBCAOBCAOAOOBCA AOA AA AOBCA A
3、A AB BBCB BBCC BSSA ABBSBCC Baaa侧作底面于因为与，所成的角均为，且，所以 是的中心，所以又，且，从而平面又平面，所以而，故所以侧面是矩形，所以四边形 矩形 【解析】几何体的体积【例2】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正PAD所在平面互相垂直，Q是AD的中点求三棱锥CPBD的体积2.42 3111642 33.323CPBDPBCDQADPADPQADPADABCDPQABCDADPQCPBDVV因为 为的中点，为正三角形，所以，因为平面平面，所以平面因为，所以；所以三棱锥 的体积为【解析】若用直接法求三棱锥CPBD的体积，就必须求C到平面PBD的距离，显
4、然这是比较困难的一般来讲，当直接法求距离(高)遇到较大阻力时，往往可以轮换三棱锥中的顶点，将底面和高转化为题目已知或容易求解的问题，这是解决求高或体积问题时常用的思路【变式练习2】将棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中 截 去 一 角 B1A1BC1，求 三 棱 锥B1A1BC1的体积，并求三棱锥B1A1BC1的高111111112111111111111 1 1=.326233(2).4211361313h=.3263VBA BCVBA B CA BCBA BChVBA BCS A BC hh 如图，因为正三角形的边长为，所以其面积为设三棱锥的高为，则，所以，解得】【解析空间几何体的内
5、接、内切、外接问题【例3】如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？2222max.2.().2()2()022()()24(212).2rSr xrHxRrHxRHHRSxHxHRxHxxHHRRHHSxHxxHHHRHxS圆柱侧圆柱侧圆柱侧圆柱侧设内接圆柱的底面半径为因为，所以 将代入得 因为 【解析】，所以，当 时，圆锥的内接问题，一般都要借助于三角形的相似找到变量之间的比例关系，将未知的变量转化为已知变量来解决圆柱、圆锥的表面积和体积求解的关键是求出底面半径、母线长和高，再准确运用公式进行计算而求最
6、大、最小值的问题，往往都是转化为某个变量的函数，再运用相关函数的图象和性质求解即可【变式练习3】求棱长为1的正四面体的外接球的半径R.2222331=.332366Rt.33ABCDAAHHHOOBHCDEBOBOAORBHBEABHAHABBHOHR如图，在正四面体中，过 作垂直于底面，垂足是，则 为底面正三角形的中心设其外接球的球心为，则 必为正四面体的中心连结，并延长交于，连结，则，在中，【，】解析22222Rt632 61,3332 6610.34443366.412434ABCDOBCDBOHRBOOHBHRRRRRVVAHOHRAOAH 方法：方法在中，两边平方得 ，解得 由，得，
7、即：223262243.R将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为，且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以 方法：1.4 3若一个球的体积为，则它的表面积为_.123244 333412.VRRSR球表因为，所以，则【解析】2.将边长为a的正方形ABCD沿着对角线AC折起，使BDa，则VDABC_2322112()2212.322DABCABODCBODACODOBODOACBOACDOBOOACBDOAOOCODOBaBDaDOOBVVVaaa如图，取的中点，连结、，由题意知，又，所以平面，又因为，所以，所以【解析】3.用长宽分别是3和的矩形硬纸卷成圆柱 的 侧 面，则 圆 柱 的 底 面
8、 半 径 是_3122或4.已 知 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的 中 点 求 四 棱 锥 A1EBFD1 的 体积1111111111111111223“”.11331()31 111().3 446AEBFDEFVAEBFDVAEFDVAEFBVFEBAVFA D ES A EB BCS A D E DCS A EBS A D E aaaaa如图所示，要直接求四棱锥的高非常困难，因此设法用 割补法 连结则【解析】5.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴之间的距离为1，求该圆锥的体积22
9、2.3.1.22.Rt2,12 2.332 2.3OPPOOAOBPABCOCPCPOOPCABOCABOCABOBPOCPOPCOCVOBPO如图，设圆锥的底面中心为，顶点为，连结、过点 作的垂线，垂足为，连结，则由于底面圆，且，所以，即又，所以在中，所以 故所求圆锥的体积为【解析】1熟练掌握各种几何体的结构特征是求几何体的侧面积和体积的前提条件，特别是正棱柱和正棱锥的结构特征求多面体的侧面积的关键是将侧面沿着一条棱剪开，展成一个平面图形，弄清楚各个侧面的形状，然后 将 各 个 侧 面 的 面 积 相 加 即 得 所 求 侧 面积注意侧面积与表面积的区别，表面积是在侧面积的基础上加上底面面积
10、2了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)，注意公式间的联系与区别与圆柱、圆锥、球有关的组合体问题，主要是指内接和外切，解题时要认真研究轴截面、分析平面图，借助相似成比例或直角三角形中的勾股定理找到变量之间的联系3计算底面积和高都不易求的不规则几何体的体积时应尽量避免直接求解，要养成用“等积法”和“割补法”转化成规则几何体的习惯1(2011江苏省无锡市第一中学高三阶段性质量检测)一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一
11、半；将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)答案：选题感悟：本题是以学生熟悉的正四棱柱和正四棱锥为载体，解题关键是弄清楚正四棱锥的体积与正四棱柱的关系，能有效地考查学生的分析问题、解决问题的能力2(2010扬州一模卷)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2 cm，则该圆锥的体积为_cm3.33 答案：选题感悟：本题主要考查圆锥的体积的计算，解题的切入点在于正确求出底面积及高，属基础题3(2010 南京一模卷)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_cm.答案：13选题感悟：立体几何中最值问题是近几年高考中频频出现的题型，几何的表面展开图问题，能有效地考查考生的分析问题和解决问题的能力
