1、2021届高考数学黄金预测卷 新高考版（二）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.已知是的共轭复数，则( )A.-1B.C.D.13.“是“”( )A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分也不必要条4.雷锋精神是我国宝贵的精神财富.2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为( )A.B.C.D.5.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段
2、变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为该函数也可以简化为的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为经过一年，该果树的高为则该果树的高度超过8m，至少需要( )A.4年B.3年C.5年D.2年6.已知单位向量a，b满足，则的最小值为( )A.B.C.D.7.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F，G分别在线段PC，PB，P
3、D上，F，G分别是PB，PD的中点，则( )A.直线PA与直线EF平行B.直线PA与直线GF相交C.直线PA与直线EG相交D.直线PA与平面EFG平行8.已知抛物线，点在抛物线上，且直线过点为C的焦点，若，则抛物线C的标准方程为( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某医疗器械公司统计了2020年11月份A品牌器械的日销售情况，并绘制成如下统计图，则下列说法正确的是( )A.2020年11月17日该品牌器械的销售量最大B.从销售数据看，前半月日销售量的极差小于后半
4、月日销售量的极差C.从销售数据看，前半月日销售量的方差大于后半月日销售量的方差D.从销售数据看，前半月的销售业绩高于后半月的销售业绩10.已知函数，则下列说法正确的是( )A.的图象关于点中心对称B.在区间上单调递减C.在上有且仅有1个最小值D.的值域为11.已知等差数列的前n项和为，若，则( )A.B.数列是公比为8的等比数列C.若，则数列的前2020项和为4040D.若，则数列的前2020项和为12.若定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，下列函数为“H函数”的是( )A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中含项的系
5、数为_.14.已知圆的内接正三角形PQR的边PQ所在直线l经过点，且直线PQ与坐标轴不垂直，则直线l的方程为_.15.已知三棱锥中，E为PC的中点，且的面积为，则三棱锥的外接球的表面积为_.16.已知函数存在两个极值点，则实数a的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在，的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.如图，在平面四边形ABCD中，_.（1）求BD的长；（2）求的最大值.18.（12分）已知数列满足，且为等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列，满足，求数列的前n项和.19.（12分）某省高考
6、改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个学科中自主选择3个科目参加等级性考试，称为“3+3”模式.为了解数学能力对选考物理的影响，某中学随机调查了该校的200名高三学生，调查结果如下表.数学能力优秀良好中等合格不合格人数5248503020选考物理人数463425105将数学能力在中等以下（不包括中等）的学生评价为数学能力较弱；否则，评价为数学能力不弱.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22列联表，并通过计算判断是否有99.9%的把握认为是否选考物理与数学能力有关；不选考物理选考物理合计数学能力不弱数学能力较弱合计（2）以样本估计总体，
7、以频率估计概率，从全省高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考物理的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.0.0500.0100.0050.001K3.8416.6357.87910.822820.（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形，与相交于点D.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.（12分）设椭圆的离心率为分别为椭圆E的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶点的任一点，的周长为.（1）求椭圆E的方程；（2）直线交椭圆E于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC和直线BD交于点M，求证：点M到y轴的距离为定值6.
8、22.（12分）已知函数为自然对数的底数.(1)当时，求函数的零点；(2)若求a的取值范围.答案以及解析一、单项选择题1.答案：B解析：依题意，由得，因此.故选B.2.答案：D解析：由知，所以，所以，故选D.3.答案：A解析：因为，所以，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.4.答案：B解析：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，共有种情况，甲被选中共有种情况，所以甲被选中的概率，故选B.5.答案：A解析：由题可得则解得所以由函数解析式可知，在上单调递增，且故该果树的高度超过至少需要4年.故选A.6.答案：B解析：由，得，两边平方，得，即，整理得，所以或.因为，所以，所以，所以，故选B.7.答案：
9、D解析：如图，连接AC，BD交于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得O为AC，BD的中点，因为F，G分别是PB，PD的中点，所以，连接PO，交GF于点M，可得，取线段PC的中点Q，连接OQ，则，又，所以，连接ME，则，所以，因此直线PA不与直线EF平行，与直线GF异面，与直线EG异面，与平面EFG平行，故选D.8.答案：C解析：如图，过点分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可知，则易知B为的中点连接，则为的中位线，点B在线段的垂直平分线上，点B的横坐标为，抛物线C的标准方程为.二、多项选择题9.答案：AB解析：根据折线图容易看出2020年11月17日该品牌器械的销售量最大
10、，A正确；从折线图可以看出，前半月日销售量的极差，后半月日销售量的极差，所以前半月日销售量的极差小于后半月日销售量的极差，B正确；从销售数据看，前半月数据波动较小，后半月数据波动较大，因此前半月日销售量的方差小于后半月日销售量的方差，C错误；从销售数据看，前半月数据之和小于后半月数据之和，因此后半月的销售业绩高于前半月的销售业绩，D错误.10.答案：BC解析：因为，所以，所以的图象不关于点中心对称，故A错误.因为，所以为函数的周期.考虑，当时，因为，所以在区间上单调递增，；当时，因为，所以在区间上单调递减，.所以的最小正周期为，值域为，故BC正确，D错误.11.答案：CD解析：本题考查等差数列
11、的通项公式与前n项和的公式、数列求和的方法.由等差数列的性质可知，故A错误；设的公差为d，则有解得，故，则数列是公比为的等比数列，故B错误；若，则的前2020项，故C正确；若，则的前2020项和，故D正确.故选CD.12.答案：CD解析：对任意两个不相等的实数，都有，可得，即.若，则，可得，即，所以若函数为“H函数”，则函数为R上的奇函数，且为增函数.对于A选项，函数的定义域为，且为偶函数，不符合题意；对于B选项，函数为R上的非奇非偶函数，不符合题意；对于C选项，函数的定义域为R，且该函数为R上的增函数，又，所以函数为奇函数，符合题意；对于D选项，函数的定义域为R，且，故函数为奇函数，且在区间
12、和上均为增函数.又函数在R上连续，所以函数为R上的增函数，符合题意.故选CD.三、填空题13.答案：45解析：由二项式定理可得的通项为，所以的展开式中含项的系数为，含项的系数为，故的展开式中含项的系数为.14.答案：解析：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为.圆化为标准方程得，圆心为，半径.由于是正三角形，则圆心C为的中心，则圆心C到直线l的距离为，所以，解得，所以直线l的方程为，即.15.答案：解析：如图，取AB的中点F，连接EF，PF，因为，所以，所以在中，.易知，则，所以.因为的面积为，所以，解得.连接FC，易知，所以，即为直角三角形，则，所以，则，所以，所以，所以E
13、为三棱锥的外接球球心，其半径，所以外接球的表面积.16.答案：解析：由题意得因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点.由得，即令则易知函数是减函数，且当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减.故又当时当时所以要使有两个零点，需，即.四、解答题17.答案：（1）方案一：选条件.因为在平面四边形ABCD中，所以.由，得，故.根据正弦定理得，所以.方案二：选条件.因为在平面四边形ABCD中，所以.设，则，由余弦定理得，即，得或（舍去），所以.方案三：选条件.因为在平面四边形ABCD中，所以.由题意得，解得.由余弦定理可得，所以.（2）解法一：设，则，由正弦定理得，所以，所以，其中.所以当时，取到最大
14、值，且最大值为.解法二：在中，设，由余弦定理得，即，则.由基本不等式可知，因此，则，所以，当且仅当时取等号.所以的最大值为.18.答案：(1)由题可得，结合，可得因为数列为等比数列，所以数列的公比，所以.(2)由（1）可得，所以，所以.19.答案：（1）根据题意填写的22列联表如下：不选考物理选考物理合计数学能力不弱45105150数学能力较弱351550合计80120200，所以有99%的把握认为是否选考物理与数学能力有关.（2）由题意知，这200名学生中选考物理的人所占的频率为，所以估计从全省高三学生中随机抽取1人，此人选考物理的概率为.X的所有可能取值为0，1，2，3且，X的分布列为X0
15、123P数学期望.20.答案：(1)四边形是菱形，D是的中点.，平面平面，平面平面，平面，平面又平面(2)由棱柱的定义知，在三棱柱中，平面平面，平面与平面所成的锐二面角与锐二面角相等.平面，以D为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，.设平面的法向量.，由得令，可得，平面平面，平面平面，平面，平面的一个法向量是，即平面与平面所成锐二面角的余弦值是.21.答案：（1）设椭圆E的焦距为2c，则根据题意知，解得，故，因此椭圆E的方程为.（2）设，由（1）可知，则直线AC的方程为，直线BD的方程为，所以直线AC与BD的交点M的横坐标为，将代入上式化简得，.将代入椭圆方程整理得，所以，所以.因此，点M的横坐标为6，即点M到y轴的距离为定值6.22.答案：(1)当时，令则，所以在上单调递增，又所以当时在上单调递减；当时在上单调递增.所以所以的零点为(2)，当时，令，则，所以在上单调递增，所以即所以不符合题意.当时，令，则，所以在上单调递增，又，所以存在使得即即，所以当时，在上单调递减；当时在上单调递增，所以当且仅当即时取等号，所以符合题意.综上，a的取值范围为.
