1、2021届高考数学黄金预测卷 新高考版（三）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则( )A.B.C.D.2.已知i为虚数单位，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，且与共线，则( )A.B.C.D.4.黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律： .若是顶角为的等腰三角形，则( )A
2、.B.C.D.5.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 6.九章算术商功中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖曘.”如图1所示的长方体用平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图2所示的堑堵中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.7.已知数列满足，则数列的前2020项的和为( )A.0B.1010C.2020D.20248.若且，则( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知，则下列结论
3、正确的是( )A.ab有最大值2B.ab有最小值2C.有最大值为4D.有最小值为410.把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变再将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是( )A.在上单调递增B.的图象关于对称C.的最小正周期为D.的图象关于y轴对称11.已知O为坐标原点，分别是离心率为的双曲线E的左、右焦点，P为双曲线上任一点，平分且，则( )A.E的标准方程为B.E的渐近线方程为C.点P到两条渐近线的距离之积为D.若直线与双曲线E的另一支交于点为的中点，则12.副三角板由一块有一个内角为60的直角三角板和一块等腰直角三角板组成，如图所示，现将两块三角形板拼接在
4、一起，得到三棱锥，取的中点O与的中点M，则下列判断正确的是( )A.直线平面 B.与平面所成的角为定值C.设平面平面，则有D.三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为_.14.某医院传染病科室有5名医生、4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生、2名护士，则不同的选取方法有_种.15.在三棱锥中，是正三角形，点A到平面PBC的距离为1，则_，三棱锥的外接球的表面积是_.16.已知定义在R上的函数满足，且当时，当时，则函数在上有_个零点.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤.17.（10分）在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，_？18.（12分）已知等比数列的前n项和为，且.（1）求与；（2）记，求数列的前n项和.19.（12分）中国是半导体的最大消费国，2020年12月，中科院宣布已经成功研发出8英寸石墨烯单晶圆，并做到了小规模生产，碳基芯片为我国实现“直道超车”带来可能性.某半导体材料供应商有A，B两条不同的生产线可以同时生产某种配件，为保证质量，现从这两条生产线生产的产品中随机抽取60件，进行品质鉴定，统计结果如
6、下表所示：等级优秀良好不合格频数63618（1）规定：等级为优秀、良好的产品为合格品.若样本中A生产线生产的产品为优秀、良好、不合格的件数分别为4件，6件，9件，请完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为产品是否合格与生产线有关？合格不合格A生产线B生产线（2）用分层抽样的方法，从样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品中抽取10件进行详细检测，再从这10件产品中任选3件，记所选的3件产品中良好等级的件数为X，求X的分布列及数学期望E（X）.附：，其中.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520.（12分）在四棱锥中，底面ABCD
7、为直角梯形，E为PC的中点，F为AD的中点，平面底面ABCD.（1）证明：平面平面PAD；（2）若PC与底面ABCD所成的角为，求三面角的余弦值.21.（12分）已知圆与抛物线在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点B，且点关于直线对称.（1）求抛物线C的方程；（2）若是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且，求点A到直线的距离最大时，直线的方程.22.（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：.答案以及解析一、单项选择题1.答案：D解析：由题意知，所以，故选D.2.答案：B解析：依题意得，因此，根据复数的几何意义，它在复平面内对应的点为，位于第二象限.3
8、.答案：B解析：与共线，解得.故选B.4.答案：A解析：由题意得在正五角星中，C，D为AB的两个黄金分割点，易知.因为，所以，故不妨设则在中，从而.5.答案：B解析：易知为偶函数，所以其图象关于y轴对称，由此排除A；由定义域知，由此排除C；又当时，由知，在区间内有极小值，由此排除D.故选B.6.答案：A解析：如图，取的中点E，连接则即异面直线与所成的角或其补角，在中，在中，在中，在中，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为，选A.7.答案：C解析：在中，分别令，2，得，两式相加得.在中，分别令，4，得，两式相加得，所以，依次类推，可得，所以数列的前2020项的和为.8.答案：B解析：由，知
9、，选项A，C错误；由，可知最小，比较与的大小，从而，选项B正确，选项D错误，故选B.二、多项选择题9.答案：BD解析：由题可知且由得，即故当且仅当即时取等号.故选项A错误，选项B正确；又，当且仅当时取等号，故选项C错误，选项D正确，故选BD.10. 答案：BCD解析：把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的得到的图象，再将图象向右平移个单位长度得到函数的图像.若则在上单调递增，故A正确；由知，的图象不关于点对称，故B错误；的最小正周期为，故C错误；的图象不关于y轴对称，故D错误.综上，故选BCD.11.答案：BCD解析：不妨设P为双曲线的右支上点，延长交于点Q，易知.根据双曲线的定义得，从而，在
10、中，为其中位线，故，由，得，所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A不正确B正确；设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；设，因为在双曲线E上，所以，-并整理得，即，所以，所以D正确.故选BCD.12.答案：ABC解析：对于选项A：由的中点O与的中点M，得.由，得.又由为等腰直角三角形得，则由， ，平面，得直线平面，故A正确.对于选项B由A得平面，则与平面所成的角为，即为，为定值60，故B正确.对于选项C由A得，平面平面，所以平面.又平面，平面平面，所以，故C正确.对于选项D：因为的面积为定值，但三棱锥的高随着点F位置的移动而变化，故D错误.故选ABC.三、填空题13.
11、答案：解析：因为，所以.又，故曲线在点处的切线方程为，即.14.答案：10解析：符合题意的情况有两种：2名医生、3名护士和3名医生、2名护士.选取2名医生、3名护士的方法有（种），选取3名医生、2名护士的方法有（种），所以满足题意的选取方法共有（种）.15.答案：；解析：如图，过点A作于点D，连接PD，过点A作于点H，则易知，所以AH为点A到平面PBC的距离，即.由易得，从而可得，由可得，即，解得.将三棱锥补形成三棱柱，设的中心分别为，连接，取的中点O，则O为三棱锥的外接球的球心.连接OA，易知，从而可得，所以所求的外接球的表面积.16.答案：7解析：由知是奇函数，又当时，所以在上是周期为1的
12、周期函数.令得，结合当时，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点.四、解答题17.答案：方案一：选条件.因为所以，由正弦定理可得，又所以，因为所以即，因为所以，又故，即.因为所以由正弦定理得解得因为，所以，所以.所以的面积.方案二：选条件.因为所以，由正弦定理可得又所以，因为，所以，即因为所以，又故即.因为所以由正弦定理得，由余弦定理得，即，联立得化简得解得，所以的面积.方案三：选条件.因为所以，由正弦定理可得又所以，因为，所以，即，因为所以，又故即.由余弦定理得即，联立得消去c，并整理得此时故方程无实数根，所以选条件时问题中的三角形不存在
13、.18.答案：（1）由，得，当时，得；当时，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.所以.（2）由（1）可得，则，两式相减得，所以.19.答案：（1）补充22列联表如下：合格不合格A生产线109B生产线329则，由于，故有95%的把握认为产品是否合格与生产线有关.（2）用分层抽样的方法，从样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品中抽取10件进行详细检测，则优秀等级的产品有（件），良好等级的产品有（件），不合格等级的产品有（件），故X的可能取值有0，1，2，3，则，所以X的分布列为X0123P所以.20.答案：(1)由题可知四边形BCDF是平行四边形，.又.又平面平面ABCD，平面平面
14、平面ABCD，平面PAD.平面平面平面PAD.(2)如图，连接为AD中点.又平面PAD，平面平面ABCD，平面平面底面ABCD.又故以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，取平面ABCD的法向量则有，.设平面EBF的法向量，令得.设二面角的平面角为由图可知为钝角，即二面角的余弦值为.21.答案：（1）将代入，得，所以，由点关于直线对称，可得，将A的坐标代入抛物线C的方程得，得.所以抛物线C的方程为.（2）由1得.设，直线的方程为，将直线的方程代入得，所以因为，所以由题意可知所以.所以，即，所以，即.所以直线的方程为，所以直线过定点，当时，点A到直线的距离最大，此时直线的方程为.22.答案：（1）函数的定义域为.当时，则.记，则.显然在上单调递减，且，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以，即恒成立，所以函数在上单调递减.所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）要证，只需证.当时，不等式显然成立.当时，由可得，于是原问题可转化为求证：，即证.令，则，令，则，易知在上单调递增，又，所以存在使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，故当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，即.综上，.
