1、5.函数的周期性一. 知识要点:1. 函数的周期性周期函数定义：若函数满足 , ，则称函数为周期函数，T是其周期说明:定义域为R时，若T是周期，那么nT也是周期 ( n为整数）2。最小正周期 最小正周期定义:若是周期函数，且在它所有的周期中存在最小的正数，称为的最小正周期。说明:（1）周期函数不一定有最小正周期（常数函数）（2）最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期不一定不变3.如何判断函数的周期性： 定义; 图象;利用下列补充性质： 设a0，则： 函数y=f(x),xR, 若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 函数y=f(x),xR, 若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期
2、为2a 函数y=f(x),xR, 若，则函数的周期为2a 若函数的图象同时关于直线与对称，那么其周期为；证：若关于x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，从而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a代x可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期为；特例：若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，那么其周期为 T=2a若函数关于直线对称，又关于点对称, 那么函数的周期是4|b-a|；证：关于直线对称可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，关于点对称可
3、得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b代x可得：f(-x)+f(2b+x)=0，与（1）式联立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），进而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，与（2）；联立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函数是奇函数，又其图象关于直线对称，那么其周期为T=4a二. 例题选讲:例1. 已知定义在R上的偶函数满足,且当时, 求的值解:,又例已知定义在R上函数满足,且是偶函数,当时，求当时，函数的解析式.解：变式 :已知，当时，求函数的解析式.解：例3：设函数在上满足，且在闭区间0
4、，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性和周期性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2) 由 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.三. 课外作业:1.已知定义在R上的函数，对于任意x都有成立,设, 数列中值不同的项最多有几项？解：由得进而得到，即T=8，所以数列中值不同的项最多有8项；2.定义在R上的函数满足,且当时， 求在上的表达式. 若，且,求实数a的取值范围.解：可得周期T=4， a13.设是定义在 上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当当时，（1）求在上的解析式；（2）对，求集合 解：（1）由周期T=2结合平移可得在上；（2），即在上有两个不等实根，也即在上有两个不等实根，可得：解得：； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
