1、二 极坐标系第二课时 极坐标和直角坐标的互化考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式.2.能进行点的极坐标与直角坐标的互相转化.重点：点的极坐标与直角坐标的互相转化.难点：将点的直角坐标转化为极坐标.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理点的极坐标和直角坐标的互化1互化背景：把直角坐标系的原点作为，x 轴的正半轴作为，并在两种坐标系中取相同的，如图所示极点极轴长度单位2互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点 M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化
2、公式x_y_2tan_cos sin x2y2yx(x0)在一般情况下，由 tan 确定角时，可根据点 M 所在的象限取最小正角双基自测1点 P 的直角坐标为(1，3)，则点 P 的极坐标为()A.2，3 B.2，43C.2，3D.2，43解析：点 P(1，3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为3.答案：C2将点 M 的直角坐标(3，1)化成极坐标为()A.3，6 B.2，76C.2，76D.2，6解析：3212 312，tan 1 3 33，点 M 在第三象限，76.所以点 M 的极坐标为2，76.答案：B3下列各点中与极坐标2，6 不表示同一个点的极坐标是_2，
3、76；2，76；2，116；2，136.解析：因为与2，6 表示同一点的坐标有2，62k 或2，62k1，其中 kZ，所以易得只有不同答案：4(2016高考北京卷)在极坐标系中，直线 cos 3sin 10 与圆 2cos 交于A，B 两点，则|AB|_.答案：2探究一 化极坐标为直角坐标 例 1 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)2，3；(2)4，2；(3)(5，5)解析(1)xcos 2cos31，ysin 2sin3 3，点的极坐标2，3 化为直角坐标为(1，3)(2)xcos 4cos2 0，ysin 4sin2 4，点的极坐标4，2 化为直角坐标为(0，4)(3)xcos 5c
4、os(5)5cos 5，ysin 5sin(5)5sin 5，点的极坐标(5，5)化为直角坐标为(5cos 5，5sin 5)1点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同2将点的极坐标(，)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键1将下列点的极坐标化为直角坐标：(1)2，76；(2)6，53；(3)2，72.解析：由公式xcos，ysin 将极坐标化为直角坐标(1)x2cos76 3，y2sin76 1，点
5、的极坐标2，76 化为直角坐标为(3，1)(2)x6cos53 3，y6sin53 3 3，点的极坐标6，53 化为直角坐标为(3，3 3)(3)x2cos72 0，y2sin72 2，点的极坐标2，72 化为直角坐标为(0，2)探究二 点的直角坐标化为极坐标 例 2 将下列点的直角坐标化为极坐标(0，0,2)：(1)(2,2)；(2)32，12；(3)(0，6)解析(1)由 x2y22 2，tan yx1，且角 的终边经过点(2,2)，当 0,2)时，34，故点的极坐标为2 2，34.(2)由 x2y21，tan yx 33，且角 的终边经过点32，12，当 0,2)时，116，故点的极坐标
6、为1，116.(3)由 x2y2 6，且角 的终边经过点(0，6)，当 0,2)时，32，故点的极坐标为6，32.点的直角坐标化为极坐标的注意事项化点的直角坐标为极坐标时，一般取 0，0,2)，即 取最小正角，由tan yx(x0)求 时，必须根据角 的终边经过点(x，y)所在的象限来确定 的值2已知点的直角坐标分别为 A(3，3)，B0，53，C(2,2 3)，求它们的极坐标，其中极角 0,2)解析：根据 2x2y2，tan yx(x0)，得 A2 3，116，B53，2，C4，23.探究三 极坐标与直角坐标的综合应用 例 3 在极坐标系中，如果等边三角形 ABC 的两个顶点的极坐标分别为
7、A2，4，B2，54，且 0，0,2)，求：(1)顶点 C 的极坐标；(2)三角形的面积解析(1)由公式xcos，ysin，得点 A2，4，B2，54 的直角坐标分别为 A(2，2)，B(2，2)点 C 必在直线 yx 上，且|OC|2tan 602 3，设点 C 的直角坐标为(x，x)，则 x2x22 3，即 2|x|2 3，解得 x 6，故点 C 的直角坐标为(6，6)或(6，6)由公式 x2y2，tan yxx0，且 0，0,2)，得点 C 的极坐标为2 3，34 或2 3，74.(2)由上述，得三角形的边长为 4，得 SABC122 344 3.不论是平面直角坐标系还是极坐标系，都是利
8、用代数方法刻画几何位置以及几何度量问题，所以利用条件画出几何图形就能容易明确解题方向，从而优化解题思路，简化解题过程3(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值解析：(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1 4cos.由|OM|OP|16 得
9、 C2 的极坐标方程为 4cos(0)因此 C2 的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 面积 S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.极坐标与直角坐标互化的应用 典例 在极坐标系中，点2，3 和圆(x1)2y21 的圆心的距离为()A.3 B2C.129D.429解析 方法一(x1)2y21 的圆心坐标为(1,0)，化为极坐标是(1,0)，点(2，3)到圆心的距离d 2122212cos12221
10、2221cos3 412 3.方法二 将点(2，3)化为直角坐标是(1，3)又(x1)2y21 的圆心的坐标是(1,0)，点(2，3)到圆心的距离 d 112 302 3.答案 A感悟提高(1)极坐标与直角坐标互化公式主要应用于解决平面几何图形中的对称、距离、面积、角度等问题(2)常用的两个解题思路：一是直接利用，的几何含义，在极坐标系下求解；二是首先将问题转化为直角坐标系下求解，然后再将问题转化为极坐标下这个过程需要充分利用互化公式进行过渡随堂训练1下列极坐标对应的点在极轴上的是()A(1,1)B(2,0)C.3，6D.3，2答案：B2已知点 A 的直角坐标为(12，12)，则它的极坐标为(
11、)A.22，4B.22，34C.22，54D.22，74解析：122122 22，tan 1，sin 22，34.极坐标为22，34，故选 B.答案：B3(2017高考北京卷)在极坐标系中，点 A 在圆 22cos 4sin 40 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为_解析：由 22cos 4sin 40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1.点 P 的坐标为(1,0)，点 P 在圆 C 外又点 A 在圆 C 上，|AP|min|PC|1211.答案：14已知两点的极坐标为 A3，2，B3，6，则|AB|_，直线 AB 的倾斜角为_解析：在极坐标系 Ox 中作出点 A3，2 和 B3，6，如图所示，则|OA|OB|3，AOx2，BOx6，AOB3.AOB 为正三角形，从而|AB|3，直线 AB 的倾斜角为23 56.答案：3 56课时作业
