1、5.6 函数yAsin(x)第1课时 函数yAsin(x)的图象及变换 第五章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1理解匀速圆周运动的数学模型(重点)2理解参数 A，对函数 yAsin(x)的图象的影响(重点)3掌握 ysin x 与 yAsin(x)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(难点、易错点)1通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养2借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养.情境导学探新知 NO.1在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移 y 与时间 x 的关系、交流电的电流 y 与时间 x 的关系等都是形如 yAsin(x)的函数如图(1)所示是某次实验测得的交流
2、电的电流 y 随时间 x 变化的图象(1)(2)将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似那么函数 yAsin(x)与函数 ysin x 有什么关系呢？知识点 A，对函数 yAsin(x)图象的影响(1)对 ysin(x)，xR 图象的影响(2)(0)对 ysin(x)图象的影响(3)A(A0)对 yAsin(x)图象的影响由 ysin x(0)的图象得到 ysin(x)的图象是如何平移的呢？提示 ysin(x)sin x，由 ysin x 的图象向左(右)平移 个单位1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)ysin 3x 的图象向左平移4个单位所得图象的解析式是 ys
3、in3x4.()(2)ysin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是 ysin 2x.()(3)ysin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是 y12sin x()答案(1)(2)(3)D 根据图象变换的方法，ysin x 的图象向左平移3个单位长度后得到 ysinx3 的图象2.把函数 ysin x 的图象向左平移3个单位长度后所得图象的解析式为()Aysin x3 Bysin x3Cysinx3Dysinx3 合作探究释疑难 NO.2类型1 匀速圆周运动的数学模型 类型2 平移变换 类型3 伸缩变换 类型 1 匀速圆周运动的数学模型【例 1】如图
4、，点 P 是半径为 20 cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置 P0 开始，按逆时针方向，以角速度 rad/s 做圆周运动，求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t(s)的函数关系解 由题意，POxP0Oxt3t，根据三角函数的定义，得 P 点纵坐标y|OP|sinPOx20sin3t，即所求 y 关于时间 t 的函数关系为 y20sint3，函数的周期 T 为22，由 T2，可得 2，点 P 的纵坐标 y 关于时间 t(s)的函数关系式为 y20sin2t3，t0，)匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅
5、A，频率或周期能确定，初始位置不同对 有影响还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系跟进训练1为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置 P(x，y)，若初始位置为 P032，12，秒针从 P0(注：此时t0)开始沿顺时针方向走动，则点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为()Aysin30t6 Bysin 60t6Cysin 30t6Dysin 30t6C 秒针是顺时针旋转，角速度 0.又由每 60 秒转一周，260 30(弧度/秒)，由 P032，12，得 cos 32，sin 12.解得6.故选 C.类型 2 平移变换【例 2】(1)将函数 ysin x 的
6、图象向左平移4个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到的图象的解析式是()Aysinx4 2Bysinx4 2Cysinx4 2Dysinx4 2(2)要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A向左平移 12个单位B向右平移 12个单位C向左平移3个单位D向右平移3个单位(1)D(2)B(1)向左平移4个单位长度得 ysinx4，再向上平移 2 个单位长度得 ysinx4 2，故选 D.(2)由 ysin4x3 sin4x 12 得，只需将 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位即可，故选 B.在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：(1)平移之
7、前应先将函数解析式化为同名的函数(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚(3)左右平移的单位数是针对单一自变量 x 而言的，不是 x 中的，而是 .跟进训练2为了得到 ysinx3 的图象，只需将函数 ycos x 的图象向右平移_个单位长度6 ysinx3 cos2x3 cos6x cosx6，只需把 ycos x 的图象向右平移6个单位长度即得到 ysinx3.类型 3 伸缩变换【例 3】已知函数 y12sin2x6 54，该函数的图象可由 ysin x，xR 的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)先由 ysin x 平移得到 ysinx6，再伸缩
8、得到 ysin2x6 与先伸缩得到 ysin 2x，再平移得到 ysin2x6，两次平移的量是否相同？解 法一(先平移后伸缩)：把函数 ysin x 的图象向左平移6个单位长度，可以得到函数 ysinx6 的图象；把函数 ysinx6 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数 ysin2x6 的图象；把函数 ysin2x6 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到函数 y12sin2x6 的图象；再把得到的函数 y12sin2x6 的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数 y12sin2x6 54的图象法二(先伸缩后平移)：把函数 ysin x 的图象
9、上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数 ysin 2x 的图象；把函数 ysin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，可以得到函数ysin2x6 的图象；把函数 ysin2x6 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数 y12sin2x6 的图象；再把得到的函数 y12sin2x6 的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数 y12sin2x6 54的图象三角函数图象伸缩变换的方法跟进训练3把函数 yf(x)的图象上各点向右平移6个单位，再把横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y2sin12x3，则 f(x)的解
10、析式是()Af(x)3cos xBf(x)3sin xCf(x)3cos x3Df(x)sin 3xA y2sin12x3 纵坐标伸长到原来的32倍y3sin12x3横坐标缩短到原来的12倍y3sinx3 向左平移6个单位y3sinx63 3sinx2 3cos x当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1要得到 ytan x 的图象，只需把 ytanx6 的图象()A向左平移6个单位 B向左平移 12个单位C向右平移 12个单位D向右平移6个单位答案 D1 2 3 4 5 A 依题意得 f(x)sin 2x4 sin2x2 cos 2x.故选 A.2若函数 ysin 2x 的图象向左平移
11、4个单位得到 yf(x)的图象，则()Af(x)cos 2xBf(x)sin 2xCf(x)cos 2xDf(x)sin 2x1 2 3 4 5 3如图为一半径是 4 米的水轮，水轮圆心 O 距离水面 1 米，已知水轮每分钟旋转 5 圈，水轮上的点P 到水面的距离 y(米)与时间 x(秒)满足函数关系 yAsin(x)1，则()A6，A4B215，A3C6，A5D215，A41 2 3 4 5 A 由题意可得 T605 2，可得 6，由图象可知 y 的最大值为 5，sin(x)1 时取得最大值，5A1，解得 A4.1 2 3 4 5 12 函数 ycos x纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍yc
12、os12x.所以 12.4函数 ycos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2 倍，得到图象的解析式为 ycos x，则 的值为_5 1 2 3 4 5由 y3sin x 的图象变换到 y3sin12x3 的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移_个单位，后者需向左平移_个单位5 1 2 3 4 3 23 y3sin x向左平移3个单位 y3sinx3横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 y3sin12x3，y3sin x横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 y3sin12x 向左平移23 个 y3sin12x23 3sin12x3.回顾本节知识，自我完成以下问题：1你能描述一下由 ysin x 的图象，通过图象变换得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的变换途径吗？提示(1)ysin x相位变换 ysin(x)周期变换 ysin(x)振幅变换 yAsin(x)(2)ysin x周期变换 ysin x相位变换 ysinx sin(x)振幅变换 yAsin(x)2上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？提示 若先相位变换后周期变换，平移|个单位；若先周期变换后相位变换，平移|个单位点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
