1、章末综合提升 第四章 指数函数与对数函数 巩固层知识整合 NO.1提升层题型探究 NO.2类型1 指数与对数的运算 类型2 指数函数、对数函数的图象及应用 类型3 指数函数、对数函数的性质及应用 类型4 函数的零点与方程的根 类型5 函数的实际应用 类型 1 指数与对数的运算1本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点2指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的
2、三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧【例 1】计算：(1)2log32log3329 log385log53；(2)1.576080.254 2(3 2 3)623.解(1)原式log32283293231.(2)原式232 2 22332321427110.D 由 3x4y36 得 xlog336，ylog436，2x1y2log363log364log369log364log36361.跟进训练1设 3x4y36，则2x1y的值为()A6 B3 C2 D1类型 2 指数函数、对数函数的图象及应用函数 yax 及 ylogax(a0，且 a1)的图象关于直线
3、 yx 对称，前者恒过(0,1)点，后者恒过(1,0)点，两函数的单调性均由底数 a 决定在解题中要注意由翻拆、平移等变换得出的函数图象【例 2】(1)已知 a0 且 a1，则函数 f(x)ax 和 g(x)loga1x 的图象只可能是()(2)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)(1)C(2)C(1)由题意可知 f(x)ax 与 g(x)loga1x 的单调性相同，故排除选项 D，又 g(1)loga10，排除选项 AB，故选 C.(2)函数 g(x)f(x)xa 存在 2
4、 个零点，即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2个交点，作出直线 yxa 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得 a1，故选 C.跟进训练2(1)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列图象对应的函数正确的是()A B C D(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)12x.如图，画出函数 f(x)的图象；根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域(1)B 由已知函数图象可得，loga31，所以 a3.A 项，函数解析式为 y3x，在 R 上单调递减，与图象不
5、符；C 项中函数的解析式为 y(x)3x3，当 x0 时，y0，这与图象不符；D 项中函数解析式为 ylog3(x)，在(，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为 yx3，与图象相符故选 B.(2)解 先作出当 x0 时，f(x)12x 的图象，利用偶函数的图象关于 y 轴对称，再作出 f(x)在 x(，0)时的图象函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,1类型 3 指数函数、对数函数的性质及应用以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于
6、 0，以免出现增根或扩大范围【例 3】(1)若 0 xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4yD14x0，a1 且 loga3loga2，若函数 f(x)logax 在区间a,3a上的最大值与最小值之差为 1.求 a 的值；若 1x3，求函数 y(logax)2loga x2 的值域(1)C 因为 0 xy1，则对于 A，函数 y3x 在 R 上单调递增，故 3x3y，A 错误对于 B，根据底数 a 对对数函数 ylogax 的影响：当 0a1 时，在 x(1，)上“底小图高”因为 0 xylogy3，B错误对于 C，函数 ylog4x 在(0，)上单调递增，故 lo
7、g4x14y，D 错误(2)解 因为 loga3loga2，所以 f(x)logax 在a,3a上为增函数又 f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为 1，所以 loga(3a)logaa1，即 loga31，所以 a3.函数 y(log3x)2log3 x2(log3x)212log3x2log3x1423116.令 tlog3x，因为 1x3，所以 0log3x1，即 0t1.所以 yt14231163116，52，所以所求函数的值域为3116，52.跟进训练3(1)设 alog2，blog12，c2，则()AabcBbacCacbDcba(2)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，
8、则 f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数(1)C(2)A(1)alog2log221，blog12 log12 10，c2 12，即 0ccb，故选 C.(2)由题意可得，函数 f(x)的定义域为(1,1)，且 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故 f(x)为奇函数又 f(x)ln1x1xln21x1，易知 y 21x1 在(0,1)上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数类型 4 函数的零点与方程的根函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与 x 轴交点的横坐标因
9、此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性【例 4】已知定义在 R 上的函数 yf(x)的图象是一条不间断的曲线，f(a)f(b)，其中 ab，设 F(x)f(x)fafb2，求证：函数 F(x)在区间(a，b)上有零点证明 f(x)在(a，b)上不间断，F(x)f(x)fafb2在(a，b)上连续又f(a)f(b)，f(a)f(b)0.F(a)f(a)fafb2fafb2，F(b)f(b)fafb2fbfa2，F(a)F(b)fafb2fbfa2fafb240，即 F(a)F(
10、b)0.函数 F(x)在区间(a，b)上有零点跟进训练4(1)方程x3412x 的根 x0 所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)设x表示不超过实数 x 的最大整数，则方程 2x2x10 的根有()A4 个B3 个C2 个D1 个(1)B(2)B(1)令 f(x)x3412x，易知 f(x)在 R 上单调递增，f(1)14120，f(1)f(2)0，a1，m0)解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题【例 5】2018 年 12 月 8 日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史
11、意义的一步火箭的起飞质量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的质量 m(吨)和燃料质量 x(吨)之和在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于 x(吨)的函数关系式为 ykln(mx)ln(2m)4ln 2(其中 k0)当燃料质量为(e1)m 吨时，该火箭的最大速度为 4 km/s.(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度 y 与燃料质量 x 之间的函数关系式；(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量 M 是 479.8 吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s？(结果精确到 0.1 吨，e 取 2.718)解(1)由题意得 4klnm(e1)mln(2m)4
12、ln 2，解得k8，所以 y8ln(mx)ln(2m)4ln 28ln mxm.(2)由已知得 Mmx479.8，则 m479.8x，又 y8，则 88ln 479.8479.8x，解得 x303.3.故应装载大约 303.3 吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.跟进训练5某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量 p(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：小时)之间的关系为 p(t)p0ekt(式中的 e 为自然对数的底数，p0 为污染物的初始含量)过滤 1 小时后，检测发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式 p(t)；(2)
13、要使污染物的含量不超过初始值的11 000，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 20.3)解(1)根据题意，得 45 p0p0ek，ek45，p(t)p045t.(2)由 p(t)p045t11 000p0，得45t103，两边取对数并整理得 t(13lg 2)3，t30.因此，至少还需过滤 30 个小时体验层真题感悟 NO.31 2 3 4 5 1(2020全国卷)设 alog342，则 4a()A 116B19C18D161 2 3 4 5 B 法一：因为 alog342，所以 log34a2，则有 4a329，所以 4a 14a19，故选 B.法二：因为 alog342，所以alog
14、342，所以 log34a2，所以 4a32 13219，故选 B.法三：因为 alog342，所以a2 1log34log43，所以 4a23，两边同时平方得 4a9，所以 4a 14a19，故选 B.1 2 3 4 5 A 2332，23，log32log33 23，ac.3352，35，log53log55 23，bc，acb，故选 A.2(2020全国卷)设 alog32，blog53，c23，则()AacbBabcCbcaDcab1 2 3 4 5 3(2020新高考全国卷)基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指
15、相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R01rT.有学者基于已有数据估计出 R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天1 2 3 4 5 B R01rT，3.2816r，r0.38.若It1e0.38t1，It2e0.38t2，It22It1，则 e0.38(t2t1)2,0.38(t2t1)ln 20.69，t2t11.8，选
16、B.1 2 3 4 5 D a30.7，b130.830.8，则 ba1，log0.70.8log0.70.71，cab，故选 D.4(2020天津高考)设 a30.7，b130.8，clog0.70.8，则 a，b，c的大小关系为()AabcBbacCbcaDcab5 1 2 3 4 B 令 f(x)2xlog2x，因为 y2x 在(0，)上单调递增，ylog2x在(0，)上单调递增，所以 f(x)2xlog2x 在(0，)上单调递增又2alog2a4b2log4b22blog2b22blog22b，所以 f(a)f(2b)，所以a2bBab2Dab2点击右图进入 章 末 综 合 测 评 谢谢观看 THANK YOU!
