1、高考导航 数列在中学教材中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，通过对近几年高考试题的统计分析，高考对本部分内容的命题主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题，难度中等偏下；二是等差、等比数列的通项与求和问题，往往结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循、难度中等热点一 等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用 审题流程一审：条件3S1,2S2，S3
2、成等差数列，列出等式4S23S1S3.二审：条件数列an为等比数列，求公比q.三审：条件bnlog3an，求出bn.四审：结论从通项b2n1b2nb2nb2n1中找出和式特征【例1】(2015乌鲁木齐诊断)已知等比数列an的前n项和为Sn，a13，且3S1,2S2，S3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3an，求Tnb1b2 b2b3 b3b4 b4b5b2n1b2nb2nb2n1.解(1)3S1,2S2，S3 成等差数列，4S23S1S3，4(a1a2)3a1(a1a2a3)，即 a33a2，公比 q3，ana1qn13n.(2)由(1)知，bnlog3anlog33n
3、n，b2n1b2nb2nb2n1(2n1)2n2n(2n1)4n，Tn(b1b2b2b3)(b3b4b4b5)(b2n1b2nb2nb2n1)4(12n)4nn122n22n.探究提高(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序(2)在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的【训练 1】(2014嵊州二中诊断)已知等差数列an的公差为 2，其前 n 项
4、和 Snpn22n，nN*.(1)求 p 的值及 an；(2)在等比数列bn中，b3a1，b4a24，若等比数列bn的前 n 项和为 Tn.求证：数列Tn16 为等比数列(1)解 由已知 a1S1p2，S24p4，即 a1a24p4，a23p2，由已知 a2a12，p1，an2n1，nN*.(2)证明 在等比数列bn中，b3a13，b4a249，qb4b33，由 b3b132，即 3b132，解得 b113.bn是以13为首项，3 为公比的等比数列，Tn1313n13 16(3n1)，即 Tn16163n123n1，又T11612，Tn16Tn1163，n2，nN*，数列Tn16 是以12为首
5、项，3 为公比的等比数列.热点二 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选 【例 2】(12 分)(2014四川卷)设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x 的图象上(nN*)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anb2n的前 n 项和 Sn.(1)证明 由已知可知，bn2an0，当 n1 时，bn1bn 2an1an2
6、d，所以数列bn是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列(4 分)(2)解 函数 f(x)2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2.由题意知，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.(6 分)所以 da2a11，ann，bn2n，anb2nn4n.(8 分)于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1，(10 分)因此 Sn4Sn4424nn4n14n143n4n113n4n143.所以 Sn3n14n149.(12 分)构建模板 错位相减法求和的一般步骤,第一步：确定
7、通项，根据已知条件求an，bn.,第二步：巧分拆，即新的数列分解为等差数列和等比数列的乘积，并确定等比数列的公比.,第三步：构差式，即写出Sn的表达式，然后乘以公比，两式作差.,第四步：根据差式的特征准确求和.探究提高 数列与函数的综合一般体现在两个方面：(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题【训练 2】已知二次函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上(1)求数列an
8、的通项公式；(2)设 bn3anan1，试求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)设二次函数 f(x)ax2bx(a0)，则 f(x)2axb.由于 f(x)6x2，得 a3，b2，所以 f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上，所以 Sn3n22n.当 n2 时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当 n1 时，a1S131221615，所以 an6n5(nN*)(2)由(1)得 bn3anan136n56n151216n516n1，故 Tn12117 17 113 16n516n112(116n1)3n6n1.热点三 数列与不等式的综
9、合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等【例 3】(2015丽水中学考试)已知单调递增的等比数列an满足 a2a3a428，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanan，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an10 恒成立，试求 m 的取值范围解(1)设等比数列an的首
10、项为 a1，公比为 q.依题意，有 2(a32)a2a4，代入 a2a3a428，得 a38.a2a420，a1qa1q320，a3a1q28，解得q2，a12或q12，a132.又an单调递增，q2，a12.an2n.(2)bn2n2nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得 Sn222232nn2n1212n12 n2n12n1n2n12.由 Sn(nm)an10，得 2n1n2n12n2n1m2n10 对任意正整数 n 恒成立，m2n122n1，即 m 12n1 对任意正整数 n 恒成立 12n11，m1，即 m 的取值范围是(，1.探究提高
11、数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解【训练 3】已知数列an的各项均为正数，且 a11，ana2n12an1.(1)求证：数列log2(an1)为等比数列；(2)设bnnlog2(an1)，数列bn的前n项和为Sn，求证：1Sn4.证明(1)ana2n12an1，an1(an11)2，an0，2log2(an11)log2(an1)，即 log2(an11)12log2(an1)，即数列log2(an1)是以 1 为首项，12为公比的等比数列(2)数列log2(an1)是以 1 为首项，12为公比的等比数列，
12、log2(an1)12n1，设 bnnlog2(an1)n12n1，则数列bn的前 n 项和为 Sn122 322n12n2 n2n1，12Sn12 222n12n1 n2n.两式相减得12Sn112 122 12n1 n2n2112n n2n，Sn4n22n1 4，bnn12n10，SnS11，1Sn4.【训练 4】(2013天津卷)已知首项为32的等比数列an的前 n 项和为 Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn 1Sn136(nN*)(1)解 设等比数列an的公比为 q，因为2S2，S3,4S4 成等差数列，所以 S32S24S4S3，即 S4S3S2S4，可得 2a4a3，于是 qa4a312.又 a132，所以等比数列an的通项公式为an3212n1(1)n132n.(2)证明 由(1)知，Sn112n，Sn1Sn112n1112n212n2n1，n为奇数，212n2n1，n为偶数.当 n 为奇数时，Sn1Sn随 n 的增大而减小，所以 Sn1SnS11S1136.当 n 为偶数时，Sn1Sn随 n 的增大而减小，所以 Sn1SnS21S22512.故对于 nN*，有 Sn1Sn136.
