1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题 1_.2_.3_.1llllllbabla 定义定义：如果直线 与平面 内的每一条直线都垂直，就说直线 与平面 互相垂直，记作特别提醒：若已知，则 垂直于平面 内的所有直线，即“线面线线”判定定理：一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直用符号表示为：，性质定理：垂直于同一平面的两条直线用符号直线与平面表示：垂直_.b，1_2.2定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直画法：记作平面与平面垂直 _.
2、_._34_.alaall 若一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直符号表示：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面用符号表示为：，归纳拓展：两个平面、都垂直于平面，则 与可能平行也面面垂直的判定定理面面垂直的性质可定理能相交，若：，则.l/labAa baa；两条相交；互相平行【；要点指南】；直角；垂线；垂直；1.设 l、m、n 均为直线，其中 m、n 在平面 内，则“l”是“lm 且 ln”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 2.(2010山东卷)在空间，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C
3、垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A 选项平行直线的平行投影也可能是平行的；B 选项中的两个平面也可以相交；C 选项的两个平面也可以相交，故选 D.3.(2011惠州模拟)设 表示平面，a，b 表示直线，给定下列四个命题：a，abb；ab，ab；a，abb；a，bab.其中正确的命题有()A1 个B2 个C3 个D4 个【解析】考虑 a 的情形，则排除，由立体几何有关概念知都是正确的 4.如图所示，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中
4、，下列命题正确的是()A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC【解析】由题中知，在四边形 ABCD 中，CDBD，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，两平面的交线为 BD，所以 CD平面 ABD，因此有 ABCD，又因为 ABAD，且 CDADD，所以 AB平面 ADC，于是得到平面 ADC平面 ABC.5.P 是ABC 所在平面 外一点，O 是 P 点在平面 上的射影若 P 到ABC 三边的距离相等，则 O 是ABC 的 内 心；若 P 到ABC 三个顶点的距离相等，则 O 是ABC 的 外 心；若 PA、PB、P
5、C 两两互相垂直，则 O 是ABC 的 垂 心【解析】在空间几何体中，由内心、外心、垂心的性质可知 一 直线和平面垂直的判定和性质【例 1】如图，已知 PA 垂直于矩形 ABCD所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点，若PDA45，求证：MN平面 PCD.【分析】可考虑用线面垂直的判定定理来证明又因为 CDAD，CDPA，ADPAA，所以 CD平面 PAD，而 AE平面 PAD，所以 CDAE.又 CDPDD，所以 AE平面 PCD，所以 MN平面 PCD.【点评】证明线面垂直，常用证法有两种：一是利用面面垂直的性质，二是利用线面垂直的判定定理，即证明直线 a 与平面 内的两条相交直线
6、都垂直 已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，当矩形 ABCD 满足什么条件时，有 PCBD?素材1【解析】若 PCBD.又 PABD，PAPCP，所以 BD平面 PAC，所以 BDAC，即矩形 ABCD 的对角线互相垂直所以矩形 ABCD 为正方形，即当矩形 ABCD 为正方形时，PCBD.二平面和平面垂直的判定和性质【例 2】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，点 D 是 AB 的中点(1)求证：BC1平面 CA1D；(2)求证：平面 CA1D平面 AA1B1B.【分析】用线面平行的判定定理证明(1)，可连接 AC1，利用中位线证明线线平行要证面面垂直需要证线面垂直
7、或线线垂直【证明】(1)连接 AC1 交 A1C 于点 E，连结 DE.因为 AA1C1C 为矩形，则 E 为 AC1 的中点，又 D 是 AB 的中点，所以在ABC1 中，DEBC1.又 DE平面 CA1D，BC1平面 CA1D，所以 BC1平面 CA1D.(2)因为 ACBC，D 为 AB 的中点，所以ABC 中，ABCD.又 AA1平面 ABC，CD平面 ABC，所以 AA1CD，又 AA1ABA，所以 CD平面 AA1B1B.又 CD平面 CA1D，所以平面 CA1D平面AA1B1B.【点评】面面垂直的证明综合性强，需要一连串的转化，而这些转化中，线线垂直是基础，线面垂直是核心，解决此
8、类问题时要善于挖掘题目中隐含着的关于线线垂直、线面垂直的条件已知，a，求证：a.素材2【证明】如图所示，设 b，c，过平面 内一点 P 作 PAb 于点 A，作 PBc 于点 B.因为，所以 PA.又 a，所以 PAa.同理可证 PBa.因为 PBPAP，PA，PB，所以 a.三垂直中的探究问题【例 3】如图，已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1 3.过点 A 作 AECD，垂足为 E，现将AED 沿 AE 折起，使得 DEEC.(1)求证：BC平面 CED；(2)在线段 AE 上找一点 R，使得平面 BDR平面 DCB，并说明理由【解析】(1)证明：由已知得
9、 DEAE，DEEC，AEECE，DE平面 ABCE，所以 DEBC.又 BCCE，CEDEE，所以 BC平面 CED.(2)不妨设 ARx，连接 DR，BR，取 DB 的中点 Q，连接 CQ，RQ.因为折叠后，CDBC2，所以 CQBD，因为平面 BDR平面 DCB，所以 CQ平面 BDR.又 RQ平面 BDR，所以 CQRQ.在 RtRCQ 中，RC 12x2，CQ 2，所以 RQ 12x2.在BAR 中，BR 1x2，在DER 中，DR 32x2，又 BD2 2，cosRBQBR2BQ2RQ22BRBQBR2BD2RD22BRBD，所以 BR22BQ22RQ2BD2RD2，解得 x12.
10、所以，当线段 AE 上的点 R 使得 3ARRE 时，平面BDR平面 DCB.【点评】对于第(2)问这种探索性问题，一般是先假设结论成立，再在结论成立的基础上，利用有关知识进行分析备选例题如图，四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，M、N 分别为 AB、PC 的中点(1)证明：ABMN；(2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 45角，连结 AC，取 AC 的中点 O，证明平面 MNO平面 PDC.【解析】(1)因为 N 为 PC 的中点，所以 ONPA.而 PA平面 ABCD，所以 ON平面 ABCD.所以 ONAB.又四边形 ABCD 为矩形，M 为 AB 的中点，所以 OMAB
11、，所以 AB平面 OMN，所以 ABMN.(2)PA平面 ABCD，ADDC，则 PDDC.故PDA 为平面 PDC 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角，即PDA45，所以 PAADBC.连结 MC，由 RtBCMRtAPM 知，MCMP，所以MNPC.因为 ABMN，所以 MNCD，所以 MN平面 PCD，所以平面 MNO平面 PCD.1213251.4aamnmnAllmlnaalaala 线面垂直的定义：与 内任何直线都垂直；、，判定定理：；，判定定理：，；面面平行的性质：，；证明线面垂直的方法面面垂直的性质：，12233/.ababababaa平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：，；线面垂直的性质：，判定定理：证明线线垂直的方法证明面面垂直，的方法判定判定性质性质线线垂直线面垂直面面垂直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键4垂直关系的转化5面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可
