1、专题八二次函数压轴题类型一线段问题2019.23(2)；2019.23(2)(3)；2019.23(2)；2019、2019、2009.23(2)试题演练1. 如图，直线y5x5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数yax24xc的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数yax24xc图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标 第1题图2. 已知二次函数的解析式为yx24x
2、，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a0)，并与直线OA交于点C.(1)求A、B两点的坐标；(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求PCE周长的最大值及此时P点的坐标；(3)当PCCO时，求P点坐标 第2题图3. 如图，一抛物线过原点和点A(1，)，AOB的面积为.(1)求过点A、O、B的抛物线解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上找到一点M，使得AOM的周长最小，求AOM周长的最小值；(3)点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点
3、P，是否存在点F，使线段PE？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由 第3题图4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标；(3)点Q是直线BC上方抛物线上的动点，求点Q到直线BC的距离最大时点Q的坐标. 第4题图5. (2019焦作模拟)如图，直线yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，1)，抛物线yx2bxc经过点B，点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图，点D在抛物线上，DEy轴交直线AB
4、于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0x4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；(3)将AOB绕平面内某点M旋转180，得到A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.此时若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和此时点A1的横坐标 第5题图答案1. 解：(1)直线y5x5交x轴于点A，交y轴于点C，A(1，0)，C(0，5)，二次函数yax24xc的图象过A，C两点，解得，二次函数的表达式为yx24x5；(2)如解图，第1题解图点B是二次函数的图象与x轴的交点，由二次函数的表达
5、式为yx24x5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为ykxb，直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，解得，直线BC解析式为yx5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，n5)，D点的坐标为(n，n24n5)，则d|n24n5(n5)|，由题意可知：n24n5n5，dn24n5(n5)n25n(n)2，当n时，线段ND长度的最大值是；(3)点M(4，m)在抛物线yx24x5上，m5，M(4，5)抛物线yx24x5(x2)29，顶点坐标为H(2，9)，如解图，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点
6、M1的坐标为M1(4，5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，H1M1HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点设直线H1M1的函数表达式为ymxn，直线H1M1过点H1(2，9)，M1(4，5)，解得，yx，当x0时，y，即点E坐标为(0，)，当y0时，x，即点F坐标为(，0)，故所求点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)第1题解图2. 解：(1)令y0，则x24x0，解得x10，x24.点B坐标为(4，0)，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入yx24x得，xx24x，解得x13，x20(舍去)，点A的坐标为(3，3); (2)如解图，设点P的坐标为(x，x
7、24x)，点A坐标为(3，3)；AOB45，ODCDx，PCPDCDx24xxx23x，PEx轴，PCE是等腰直角三角形，当PC取最大值时，PCE周长最大PE与线段OA相交，0x1，由PCx23x(x)2可知，抛物线的对称轴为直线x，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，当x1时，PC最大，PC的最大值为132，PE2，CE2，PCE的周长为CPPECE42，PCE周长的最大值为42，把x1代入yx24x，得y143，点P的坐标为(1，3)；第2题解图(3)设点P坐标为(x，x24x)，则点C坐标为(x，x)，如解图，当点P在点C上方时，P1C1x24xxx23x，OC1x，P1C1OC1，x2
8、3xx，解得x13，x20(舍去)把x3代入yx24x得，y(3)24(3)12，P1(3，12)，当点P在点C下方时，P2C2x(x24x)x23x，OC2x，P2C2OC2，x23xx，解得x13，x20(舍去)，把x3代入yx24x，得y(3)24(3)12，P2(3，12)综上所述，P点坐标为(3，12)或(3，12)第2题解图3. 解：(1)过点A作ACx轴于点C，如解图，第3题解图A(1，)，AC，SAOBBOACBO，BO2，B(2，0)由题意可设抛物线解析式为yax2bx，把A、B坐标代入可得，解得，过A、B、O三点的抛物线的解析式为yx2x；(2)由(1)可求得抛物线的对称轴
9、为直线x1，设AB交对称轴于点M，如解图，连接OM，OA长为定值，AOM周长的最小值即为OMAM的最小值，第3题解图B、O两点关于对称轴对称，MOMB.A，M，B三点共线时，OMAM最小设直线AB的解析式为ykxb，把A、B两点的坐标代入可得，解得 ，直线AB的解析式为yx，当x1时，y，点M的坐标为(1，)由勾股定理可求得ABAO，AOM周长的最小值为AMMOAOABAO22；(3)存在点F的坐标为(0，0)或(1，0)或(，0)或(，0)【解法提示】假设存在满足条件的点F，设其坐标为(x，0)，第3题解图则E(x， x)，P(x，x2x)，如解图，当2x0时，PEPFEF(x2x)xx2x
10、，由PE得x2x，解得x10，x21，当x0时，点P与点F重合，点F的坐标为(0，0)；当x1时，点F的坐标为(1，0)；当0x1时，此时PE恒小于；当x1或x2时，PEPFEFx2x(x)x2x，由PE得x2x，解得x1，x2，点F的坐标为(，0)或(，0)综上所述：点F的坐标为(0，0)或(1，0)或(，0)或(，0)4. 解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)，解得，抛物线的解析式为yx24x3；(2)由yx24x3可得D(2，1)，C(0，3)，OB3，OC3，OA1，AB2，可得OBC是等腰直角三角形，OBC45，CB3，如解图，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，A
11、FAB1，设直线BC与对称轴的交点为E，连接AE，AC，EF1AF，则有BAEOBC45，AEB90，BEAE，CE2.在AEC与AFP中，AECAFP90，ACEAPF，AECAFP，即，解得PF2.点P在抛物线的对称轴上，点P的坐标为(2，2)或(2，2)；第4题解图 (3)设直线BC的解析式为ykxb(k0)，直线BC经过B(3，0)，C(0，3)，解得，直线BC的解析式为yx3.第4题解图如解图，设点Q(m，n)，过点Q作QHBC于点H，并过点Q作QSy轴交直线BC于点S，则S点坐标为(m，m3)，QSn(m3)nm3.点Q(m，n)在抛物线yx24x3上，nm24m3，QSm24m3
12、m3m23m(m)2，当m时，QS有最大值.BOOC，BOC90，OCB45，QSy轴，QSHOCB45，QHS是等腰直角三角形，当斜边QS最大时，QH最大当m时，QS最大，此时nm24m363，即Q(，)，当点Q的坐标为(，)时，点Q到直线BC的距离最大. 【一题多解】直线BC的解析式为yx3，易知当与直线BC平行的直线与抛物线相切时，抛物线上的点到直线yx3的距离最大，由此可设yxb与抛物线相切，则有：，化简得x23x3b0，由题意得b24ac324(3b)0，b，x23x0，解得x1x2，此时纵坐标y()().即点Q的坐标为(，)时，抛物线上的点Q到直线BC的距离最大5. 解：(1)yx
13、2x1；【解法提示】直线yxm经过点B(0，1)，m1，直线的解析式为yx1，yx1经过点C，且点C的横坐标为4，C(4，2)，抛物线yx2bxc经过点C(4，2)和点B(0，1)，解得，抛物线的解析式为yx2x1.(2)令y0，则x10，解得x，点A的坐标为(，0)，OA，在OAB中，OB1，AB，DEy轴，ABODEF，在矩形DFEG中，EFDEDEFDE，DFDEDEFDE，l2(DFEF)2()DEDE，点D的横坐标为x(0x4)，D(x，x2x1)，E(x，x1)，DE(x1)(x2x1)x22x，l (x22x)x2x，l (x2)2，且0，当x2时，l有最大值，最大值为；(3)“落点”的个数有2个，点A1的横坐标为或.【解法提示】由题意得，A1O1x轴，B1O1y轴，B1，O1不可能同时在抛物线上；当点A1，O1在抛物线上时，如解图，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m，m2m1 (m)2 (m)1，解得m；第5题解图当点A1，B1在抛物线上时，如解图，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m，B1的纵坐标比A1的纵坐标大1，m2m11 (m)2 (m)1，解得m，点A1的横坐标为或.故“落点”的个数有2个，此时点A1的横坐标为或.第5题解图第 13 页
