1、2012年石景山区高三统一测试数学（理科）考生须知1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟2. 本试卷共6页各题答案均答在答题卡上题号一二三总分151617181920分数第卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【2012北京市石景山区一模理】1设集合,，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】，所以，答案选B.【2012北京市石景山区一模理】2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B 第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】，所以对应点在第四象限，答案选D.3 【2012北京市石景山区一模
2、理】圆的圆心坐标是（ ）A BC D【答案】A【解析】消去参数，得圆的方程为，所以圆心坐标为，选A.4【2012北京市石景山区一模理】设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D正确。【2012北京市石景山区一模理】5执行右面的框图，若输入的是，则输出的值是（ ）A B C D【答案】B【解析】第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，第六次循环：此时条件不成立，输出，选B.【2012北京市石景山区一模理】6若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A B C D【答案】
3、B【解析】二项展开式的系数和为，所以，二项展开式为，令，得，所以常数项为,选B。【2012北京市石景山区一模理】7某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）、 A B C D【答案】A【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。四棱锥的高为，四棱锥的体积为，所以组合体的体积为，答案选 A.【2012北京市石景山区一模理】ACBDP8如图，已知平面，、是上的两个 点，、在平面内，且 ，在平面上有一个 动点，使得，则体积 的最大值是（ ） ABCD【答案】C【解析】因为，所以在直角三角形PAD,PBC中，,即,即,设，过点P做AB的垂线，设高为，如
4、图，在三角形中有，整理得，所以，所以的最大值为4，底面积为，此时体积最大为选C.第卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 【2012北京市石景山区一模理】9设向量，且，则= 【答案】【解析】因为，所以，即，所以。【2012北京市石景山区一模理】10等差数列前9项的和等于前4项的和若，则k =_【答案】【解析】法1：有题意知,即，所以，又，所以。法2：利用方程组法求解。【2012北京市石景山区一模理】BAEDFC11.如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，若，则线段的长为 【答案】【解析】设AF=4k，BF=2k，BE=k，DFFC=AFBF，即，所以A
5、F=4，BF=2，BE=1，AE=7，,所以。【2012北京市石景山区一模理】12设函数的最小值为，则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为当时，所以要使函数的最小值，则必须有当时，又函数单调递减，所以所以由得。【2012北京市石景山区一模理】13如图，圆内的正弦曲线 与轴围成的区域记为 (图中阴影部分)，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是 【答案】【解析】阴影部分的面积为，圆的面积为，所以点落在区域内的概率是。【2012北京市石景山区一模理】14集合 现给出下列函数：， 若 时，恒有则所有满足条件的函数的编号是 【答案】【解析】由可知,画出相应的图象可知，满足条件。三、解答题：本大题
6、共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤【2012北京市石景山区一模理】15（本小题满分13分）在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的面积.【答案】解：（）因为，由正弦定理，得 2分 4分 , ， 又 ， 6分（）由正弦定理，得， 8分 由 可得，由，可得 ， 11分 13分16 【2012北京市石景山区一模理】（本小题满分13分） 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮 （）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望E； （）求乙至多投中2次的概率； （）求乙恰好比甲多投进2次的概率【答案】解：（）的可
7、能取值为：0，1，2，3 1分 的分布列如下表：0123 4分 5分 （）乙至多投中2次的概率为 8分 （）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2， 则为互斥事件 10分 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为 13分【2012北京市石景山区一模理】17 （本小题满分14分） 如图，三棱柱中，面，为的中点. （）求证：；C1A1CB1ABD （）求二面角的余弦值； （）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.【答案】 （I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD 1分 BCC1B1是矩形，O是B1C的中点 又D是AC的中点，O
8、D/AB1 AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 4分A1AC1zxyCB1BD （II）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ， 5分 设是面BDC1的一个法向量，则即，取. 7分易知是面ABC的一个法向量. 8分 . 二面角C1BDC的余弦值为. 9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 10分 则，即. 12分 解之方程组无解. 13分 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 14分【2012北京市石景山区一模理】1
9、8（本小题满分14分）已知函数. （）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值； （）求函数的单调区间； （）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】解：（） 1分 由已知，解得. 3分（II）函数的定义域为.（1）当时, ，的单调递增区间为； 5分（2）当时. 当变化时，的变化情况如下：-+极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是； 单调递增区间是. 8分 （II）由得，9分 由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立. 即在上恒成立. 11分令，在上，所以在为减函数. , 所以. 14分【2012北京市石景山区一模理】19（本小题满分13分） 已知椭圆（）右顶点与右焦点的
10、距离为，短轴长为.（）求椭圆的方程； （）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程【答案】解：（）由题意， -1分解得. -2分 即：椭圆方程为 -3分 （）当直线与轴垂直时， 此时不符合题意故舍掉； -4分 当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：， 代入消去得：. -6分 设 ，则， -7分所以 . -9分原点到直线的距离，所以三角形的面积.由， -12分所以直线或. -13分【2012北京市石景山区一模理】20（本小题满分13分） 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点()在函数的图像上，其中n 为正整数 （）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比
11、数列；（）设（）中“平方递推数列”的前n项之积为，即 ，求数列的通项及关于的表达式；（）记 ，求数列的前项和，并求使的的最小值【答案】解：（I）因为 所以数列是“平方递推数列” . -2分 由以上结论， 所以数列为首项是公比为2的等比数列. -3分 （II）， . -5分 ， . -7分（III） . -10分 . -13分2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分题号12345678答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案 三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程
12、或演算步骤15（本小题满分13分）解：（）因为，由正弦定理，得 2分 4分 , ， 又 ， 6分（）由正弦定理，得， 8分 由 可得，由，可得 ， 11分 13分16（本小题满分13分）解：（）的可能取值为：0，1，2，3 1分 的分布列如下表：0123 4分 5分 （）乙至多投中2次的概率为 8分 （）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2， 则为互斥事件 10分 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为 13分17（本小题满分14分） （I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD 1分 BCC1B1是矩形，O是B1C的中点 又
13、D是AC的中点，OD/AB1 AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 4分A1AC1zxyCB1BD （II）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ， 5分 设是面BDC1的一个法向量，则即，取. 7分易知是面ABC的一个法向量. 8分 . 二面角C1BDC的余弦值为. 9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 10分 则，即. 12分 解之方程组无解. 13分 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 14分18（本小题满分
14、14分）解：（） 1分 由已知，解得. 3分（II）函数的定义域为.（1）当时, ，的单调递增区间为； 5分（2）当时. 当变化时，的变化情况如下：-+极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是； 单调递增区间是. 8分 （II）由得，9分 由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立. 即在上恒成立. 11分令，在上，所以在为减函数. , 所以. 14分19（本小题满分13分）解：（）由题意， -1分解得. -2分 即：椭圆方程为 -3分 （）当直线与轴垂直时， 此时不符合题意故舍掉； -4分 当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：， 代入消去得：. -6分 设 ，则， -7分所以 . -9分原点到直线的距离，所以三角形的面积.由， -12分所以直线或. -13分20（本小题满分13分）解：（I）因为 所以数列是“平方递推数列” . -2分 由以上结论， 所以数列为首项是公比为2的等比数列. -3分 （II）， . -5分 ， . -7分（III） . -10分 . -13分注：若有其它解法，请酌情给分
