1、第8讲函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间
2、a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2103.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0).(2)反比例函数模型：y(k0).(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0).(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).4.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平
3、稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(
4、2)f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P88例1改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由已知得f(x)ex30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点.答案B3.(2015安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，ycos x为偶函数且有零点.答案A4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)
5、的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A.100只 B.200只C.300只 D.400只解析由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.答案B5.函数f(x)ax12a在区间(1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.解析因为函数f(x)ax12a在区间(1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(1，1)上存在一个零点，则满足f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，解得a1.答案6.(2017绍兴调研)已知f(x)则f(f(2)_；函数f(x)的零点的个数为_.解析根据题意得：
6、f(2)(2)24，则f(f(2)f(4)24216214；令f(x)0，得到2x20，解得：x1，则函数f(x)的零点个数为1.答案141考点一函数零点所在区间的判断【例1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内(2)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a
7、，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)1210.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.答案(1)A(2)B规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是
8、否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 已知函数f(x)ln x的零点为x0，则x0所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析f(x)ln x在(0，)上是增函数，又f(1)ln 1ln 120，f(2)ln 2ln 210.故f(x)的零点x0(2，3).答案C考点二函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f(x)的零点个数是_.(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为_.A.1 B.2 C.3 D.4解析(1)当x0
9、时，令x220，解得x(正根舍).所以在(，0上有一个零点.当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)令f(x)2x|log0，5x|10，得|log0.5x|.设g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点.答案(1)2(2)B规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上
10、是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【训练2】 (2015湖北卷)f(x)2sin xsinx2的零点个数为_.解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，则函数的零点即为函数ysin 2x与函数yx2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案2考点三函数零点的应用【例3】 (2017昆明调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，求a的取值范围.解由f(x4
11、)f(x)知，函数的周期T4.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(4x)，因此函数yf(x)的图象关于x2对称.又f(2)f(6)f(10)2.要使方程f(x)logax有三个不同的实根.由函数的图象(如图)，必须有即解之得a0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.解析(1)当x0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1am时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)考点四构建函数模型解决实际问题(易错警示)
12、【例4】 (1)(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年(2)(2017河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C
13、(x)(0x10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.(1)解析设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y130(112%)n.依题意130(112%)n200，得1.12n.两边取对数，得nlg1.12lg 2lg 1.3n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案B(2)解当x0时，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10).由得f(x)2(3x5)10.令3x5t，t5，35
14、，则y2t1021070，当且仅当2t即t20时“”成立，此时由3x520得x5.函数y2t10在t20时取得最小值，此时x5，因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.规律方法(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.构建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.(2)解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原.易错警示求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练4】 (1)(2017成都调研)某食品的保鲜
15、时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.(2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.当0x200时，求函数v(x)的表达式；当车流密度x为
16、多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时).(1)解析由已知条件，得192eb又48e22kbeb(e11k)2e11k，设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kb192 e33k192(e11k)319224.答案24(2)解由题意，得当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb(a0)，所以解得故当0x200时，函数v(x)的表达式为v(x)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，所以f(x)在区间0，20上的最大值为f(20)60201 200；当20x20
17、0时，f(x)x(200x)，当且仅当x200x，即x100时，等号成立.所以当x100时，f(x)在区间(20，200上取得最大值.综上可知，当x100时，f(x)在区间0，200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.思想方法1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)
18、图象公共点的个数来判断.3.求解函数应用问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.易错防范1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的
19、函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017赣中南五校联考)函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，1) D.(1，0)解析由于f(1)0，f(1)f(0)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D3.(2017杭州调研)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
20、解析因为函数f(x)2xa在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以0a3.答案C4.(2017德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为()A.5 B.8 C.9 D.10解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln，f(t)a，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，f(k)aa，即，k10，
21、由题可知mk55.答案A5.(2017湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C. D.解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.答案C二、填空题6.(2016浙江卷)设函数f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.解析f(x)x33x21，则f(a)a33a21，f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)
22、x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得a0，由得a2b，代入式得b1，a2.答案217.(2017湖州调研)设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为ycekx，其中c，k为常量.已知某天的海平面的大气压为1.01105 Pa，1 000 m高空的大气压为0.90105Pa，则c_，k_，600 m高空的大气压强约为_Pa(保留3位有效数字).解析将x0时，y1.01105 Pa和x1 000时，y0.90105Pa分别代入ycekx，得所以c1.01105，所以e1 000k，所以kln，用计算器算得k1.153104，所以y1.01105e
23、1.153104x，将x600代入上述函数式，得y9.42104 Pa，即在600 m高空的大气压强约为9.42104 Pa.答案1.011051.1531049.421048.(2015安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_.解析函数y|xa|1的图象如图所示，因为直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，故2a1，解得a.答案三、解答题9.已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1，0)及内各有一个零点，求实数a的
24、取值范围.解(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题.依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根.(2)依题意，要使yf(x)在区间(1，0)及内各有一个零点，只需即解得a1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点.答案D12.(2017石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上
25、述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t22，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案B13.(2017绍兴调研)已知f(x)m|x|，若f(x)有两个零点，则实数m的值为_；若f(x)有三个零点，则实数m的取值范围是_.解析函数f(x)的零点，即为方程m|x|0即|x|(x2)的实数根，令g(x)|x|(x2)其图象如图所示，当m1时，g
26、(x)图象与y有2个交点；当01时，有3个交点.答案1(1，)14.设函数f(x)(x0).(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围.解(1)如图所示.(2)f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数.由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m0时，根据定义证明f(x)在(，2)单调递增；(2)求集合Mkb|函数f(x)有三个不同的零点.(1)证明当x(，2)时，f(x)kxb.任取x1，x2(，2)，设x2x1.f(x1)f(x2)(x1x2).由所设得x1x20，又k0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，u(x)，v(x)开口均向上.由v(2)10知v(x)在(，2)有唯一零点.为满足f(x)有三个零点，u(x)在(2，)应有两个不同零点.b2k2.当k0知u(x)在(2，)有唯一零点.为满足f(x)有三个零点，v(x)在(，2)应有两个不同零点.b2k2.综合可得Mkb|b2k2.
