1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D. （2）已知，若，则A. B. C. D. （3）执行如图所示的程序框图，输出的值为A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）： 已知两组数据的平均数相等，则的值分别为A. B. C. D. （5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C
2、. 或 D. 或（6）设，则“”是“直线与直线平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,（7）在中，是的中点，则的取值范围是A. B. C. D. （8）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为 .（10）若变量满足约束条件，则的最大值是 .（11）中， 且的面积为，则 .（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 . （13）函数的
3、最大值为 ；若函数的图像与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列的前项和，且.（）数列的通项公式；（）若，求数列前项和. （16）（本小题13分）已知函数.（）求函数的定义域；（）求函数的值域. （17）（本小题14分）据中国日报网报
4、道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记（）求数据的众数；（）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试
5、结果的概率；（）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. （18）（本小题13分）如图，三棱柱侧面底面，分别为棱的中点. （）求证：；（）求三棱柱的体积；（）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. （19）（本小题14分）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，点与点不重合.（）求椭圆的离心率；（）当时，求椭圆的方程；（）过原点作直线的垂线，垂足为.若，求的值. （20）（本小题13分）已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求
6、证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件. 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678选项ADBBDCAC二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9.10.11.或12.13.114.5 A三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15（本题共13分）解：（）设等差数列的首项为，公差为，解得，-3分由，则-5分因此，通项公式为.（）由（）可知：，则-7分因为，-8分所以是首项为8，公比为的等比数列.-9分记的前项和为，则-10分-12分-13分16（本题共13分）解：（），
7、-2分解得：，-3分所以，函数的定义域为-4分（）-6分-8分-9分因为，所以，所以，-11分所以，函数的值域为.-13分17.（本题共13分）解：（）124624421647所以等于1有2次，=2有3次，=4有4次，=6有2次，=7有1次，则数据的众数为4-5分（）设事件D=“品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果”.满足的测试共有4次，其中品牌的测试结果大于品牌的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示.品牌的测试结果小于品牌的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示.从中随机抽取两次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP,MQ,N
8、P,NQ四种情况.故. -10分（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述-13分可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌的测试有两次打开速度比品牌快(数
9、值小），品牌有四次比品牌快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌有四次打开速度比品牌快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌打开文件速度快一些理由如下：品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌打开文件速度快一些.（且品牌方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分. 18.（本题共14分）（）证明：三棱柱中，侧面底面，又因为侧面底面，底面，所以平面，-3分又因为平面，所以；-4分（）解：连接 ,因为三棱柱中，所以.因为，所以.又因为，且.所以是边长为
10、2的正三角形.因为是棱的中点，所以，又因为，所以.因为，底面，所以底面.-6分所以三棱柱的体积为； 8分（）在直线上存在点，使得平面.-9分证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.因为，所以，故-10分由于为棱的中点，所以，故有-11分又为棱的中点，故为的中位线，所以.-12分又平面，平面，所以平面. -13分故在直线上存在点，使得平面.此时，. -14分 19.（本题共14分）解：（），-2分，故.-4分（）设，得到，依题意，由得.且有，-6分，-7分原点到直线的距离-8分所以-9分解得1，故椭圆方程为.-10分（）直线的垂线为，-11分由解得交点，-12分因为，又所以=，故的
11、值为1.-14分 20.（本题共13分）解：（）依题意，-1分所以切线的斜率又因为，-2分所以切线方程为.-3分（）先证不必要性.当时，令，解得.-4分此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立.-5分再证充分性.方法一：当时，.令，解得.-6分（i）当，即时，所以在上单调增.又，所以有且只有一个零点.-7分（ii）当，即时，随的变化情况如下:000极大值极小值-8分当时，所以-9分又所以有且只有一个零点.-10分（说明：如果学生直接写出时，要扣1分）（iii）当，即时，随的变化情况如下:000极大值极小值-11分因为，所以时，-12分令，则. 下面证明当时，.设，则.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减所以当时，取得极大值.所以当时，, 即.所以.由零点存在定理，有且只有一个零点.综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.-13分（说明：如果学生写出下面过程，时，有且只有一个零点.要扣1分）方法二：当时，注意到时，因此只需要考察上的函数零点.-7分（i）当，即时，时，单调递增.-8分又有且只有一个零点.-10分（ii）当，即时，以下同方法一.
