1、第2讲导数与函数的单调性最新考纲了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通
2、过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)f
3、(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)2.函数f(x)exx的单调递增区间是()A.(，1 B.1，)C.(，0 D.(0，)解析令f(x)ex10得x0，所以f(x)的递增区间为(0，).答案D3.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()解析由yf(x)的图象易知当x0或x2时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增；当0x2时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(0，2)上单调递减
4、.答案C4.(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)解析依题意得f(x)k0在(1，)上恒成立，即k在(1，)上恒成立，x1，01，k1，故选D.答案D5.若f(x)，0abe，则f(a)与f(b)的大小关系为_.解析f(x)，当0xe时，1ln x0，即f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增，f(a)f(b).答案f(a)f(b)考点一求不含参数的函数的单调性【例1】 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性.解(1)对
5、f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，所以3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数.综上知，g(x)在(，4)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.规律方法确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0).令y0
6、，得00，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增；()当a0时，由g(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，等号只在x1时取得，所以函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a10，x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减.当a0时，由于10，此时f(x)0，f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增.综上所述：当a0时，函数f(x)在(0，1)上单调
7、递减，在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.考点三利用函数的单调性求参数(易错警示)【例3】 (2017成都诊断)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min即可.
8、而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.(2)由h(x)在1，4上单调递减得，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立.设G(x)，所以aG(x)max，而G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.规律方法利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.方法一：转化为“f(x)0(0(0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.易错警示对于：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于：h(x)在(0，)上存在递减区间，应等价于h(x)0在(0，)上有解，易误认为“等价于h(x)0在(0，)上有解”，多带一个“”之所以不正确，是因为“h(x)0在(0，)上有解即为h(x)0在(0，)上有解，或h(x)0在(0，)上有解”，后者显然不正确；对于：h(x)在1，4上单调递减，应等价于h(x)0在1，4上恒成立，易误认为“等价于h(x)0(0)在D上有解，此处易误多加“”.
