1、第二章 平面向量23 平面向量的基本定理及坐标表示23.4 平面向量共线的坐标表示内 容 标 准学 科 素 养1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 平面向量共线的坐标表示阅读教材 P9899，思考并完成以下问题根据向量的坐标运算，向量共线如何表示？已知下列几组向量：a(0，3)，b(0，6)；a(2，3)，b(4，6)；a(1，4)，b(3，12)；a12，1，b12，1.(1)将每组向量画
2、在坐标系中，发现 a 与 b 有什么关系？提示：中 a 与 b 同向，中 a 与 b 反向(2)每组中的 a 与 b 共线吗？提示：共线知识梳理(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a，b 共线，当且仅当存在实数，使 ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当_时，向量 a，b(b0)共线注意：对于(2)的形式极易写错，如写成 x1y1x2y20 或 x1x2y1y20 都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减思考 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab 时，一定有x1y1x2y2吗？x1y2x2y10提示：不一定，
3、当 y10 或 y20 时，不成立自我检测1已知向量 a(2，1)，b(x1，2)，若 ab，则实数 x 的值为()A2 B2 C3 D3答案：D2与 a(12，5)平行的单位向量为()A.1213，513B.1213，513C.1213，513 或1213，513D.1213，513答案：C探究一 向量共线的判定与证明教材 P101 习题第 6 题已知 A(2，3)，B(2，1)，C(1，4)，D(7，4)试问AB与CD 是否共线？解析：AB(2，1)(2，3)(4，4)，CD(7，4)(1，4)(8，8)，4488.AB 与CD 共线例 1(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2，3)，
4、b(4，6)Ba(2，3)，b(3，2)Ca(1，2)，b(7，14)Da(3，2)，b(6，4)(2)在下列向量组中，可以把向量 a(3，7)表示出来的是()Ae1(0，1)，e2(0，2)Be1(1，5)，e2(2，10)Ce1(5，3)，e2(2，1)De1(7，8)，e2(7，8)解析(1)利用 x1y2x2y10 判定(2)只有 C 不共线，可作为基底答案(1)D(2)C方法技巧 向量共线的判定方法跟踪探究 1.判断下列各组中的向量是否平行：(1)a(1，3)，b(2，4)；(2)a(1，2)，b12，1.解析：(1)143220，a 与 b 不平行(2)112120，ab.探究二
5、利用向量共线求参数教材 P98 例 6方法步骤：由向量平行，建立坐标方程求解例 2(1)已知向量 a(1，2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则 的值等于()A.12 B.13C1 D2解析 a2b(1，2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1，2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)，可得 2(12)4(22)0，解得 12.故选 A.答案 A(2)已知 a(x，1)，b(4，x)，a 与 b 共线且方向相同，求 x.解析 a(x，1)，b(4，x)，ab，x240，解得 x12，x22.当 x2 时，a(2，1)，b(4，2)，a 与 b 共线且方向相同；当 x2 时
6、，a(2，1)，b(4，2)，a 与 b 共线且方向相反x2.方法技巧 利用向量平行的条件求参数值的思路(1)利用共线向量定理 ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解探究三 三点共线问题教材 P98 例 7方法步骤：(1)三点中，任取两点构造向量，并用坐标表示(2)判定两向量是否共线(3)判定三点是否共线角度 1 判定三点共线或求参数例 3(1)向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？解析 法一：(待定系数法)AB OB OA(4，5)(k，12)(4k，7)，BCOC OB(10，k)(4，5)(6，k5)又 A
7、，B，C 三点共线，AB BC，即(4k，7)(6，k5)(6，(k5)4k6，7（k5），解得 k11 或 k2.法二：(坐标法)向量AB、BC 的坐标表示同法一A，B，C 三点共线，(4k)(k5)6(7)，解得 k11 或 k2.(2)已知 A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行于直线 CD 吗？解析 因为AB(2，4)，CD(1，2)，又因为 22410，所以AB CD，因为AC(2，6)，AB(2，4)，所以 24260，所以 A，B，C 三点不共线，所以直线 AB 与直线 CD 不重合，所以 ABCD.角度 2 利用向量共线
8、求点的坐标例 4 已知 P1(2，1)，P2(1，3)，P 在直线 P1P2 上，且|P1P|23|PP2|.求点 P的坐标解析 当点 P 在线段 P1P2 上时，如图 a：图 a则有P1P 23PP2，设点 P 的坐标为(x，y)，(x2，y1)23(1x，3y)，x223（1x），y123（3y），解得x45，y35.故点 P 的坐标为45，35.当点 P 在线段 P2P1 的延长线上时，如图 b：图 b则有P1P 23PP2，设点 P 的坐标为(x，y)，(x2，y1)23(1x，3y)，x223（1x），y123（3y），解得x8，y9.故点 P 的坐标为(8，9)综上可得点 P 的坐
9、标为45，35 或(8，9)方法技巧(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点(2)若 A，B，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线跟踪探究 2.在ABC 中，已知点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC 14OA，OD 12OB，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标解析：设点 C 坐标为(xC，yC)，因为点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以OA(0，5)，OB(4，3)因为OC(xC，yC)14OA 0，5
10、4，所以点 C0，54.同理点 D2，32.设点 M 的坐标为(x，y)，则AM(x，y5)，而AD 2，72，因为 A，M，D 三点共线，所以AM 与AD 共线所以72x2(y5)0，即 7x4y20.而CM x，y54，而CB 40，354 4，74.因为 C，M，B 三点共线，所以CM 与CB 共线所以74x4y54 0，即 7x16y20.由7x4y20，7x16y20，得x127，y2，所以点 M 的坐标为127，2.课后小结1两个向量共线条件的表示方法已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当 b0 时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当 x2y20 时，x1x2y1
11、y2，即两向量的相应坐标成比例2两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行；(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据3向量坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来素养培优1方程思想解决共线问题典例 已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_解析 法一(待定系数法)：由 O，P，B 三点共线
12、，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44，4)又AC OC OA(2，6)，由AP与AC 共线，得(44)64(2)0，解得34，所以OP 34OB(3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3)法二(坐标法)：设点 P(x，y)，则OP(x，y)因为OB(4，4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC 共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3，3)答案(3，3)点评 已知两个向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示这类题目需根据题目特点
13、恰当地选择向量共线的坐标表示形式，建立方程(组)求解2数形结合思想解决几何问题典例 在直角梯形 ABCD 中，ADAB，AB2AD2CD.过点 C 作 CEAB 于点 E，点 M 为 CE 的中点求证：(1)DEBC；(2)D，M，B 三点共线解析 以点 E 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，EC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图，设|AD|1，则|DC|1，|AB|2.CEAB，ADDC，四边形 AECD 为正方形在平面直角坐标系中各点的坐标分别为 E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1)，A(1，0)(1)ED(1，1)(0，0)(1，1)，BC(0，1)(1，0)(1，1)，ED BC，ED BC，即 DEBC.(2)点 M 为 EC 的中点，M0，12，MD(1，1)0，12 1，12，MB(1，0)0，12 1，12，MD MB，MD MB，又MD，MB 有公共点 M，D，M，B 三点共线点评(1)利用向量坐标运算求解或证明几何问题，首先要建立适当的平面直角坐标系，一般以图形中的直角顶点为原点，直角边所在的直线分别为 x 轴、y 轴，尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的直线与 x 轴、y 轴平行(2)注意证明线线平行与点共线的联系与区别课时 跟踪训练
