1、3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数.艾宾浩斯根据 这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：123tyo20406080记忆的数量(百分数)天数 100思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过 的知识?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘 曲线”从左至右是逐渐下降 的，对此，我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记
2、忆的数量(百分数)天数 1.理解增函数、减函数的概念；（重点）2.掌握用定义判断函数单调性的方法；（难点）3.求函数的单调区间.数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养 逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyo1yxxyo1yx xyo2yx局部上升或下降下降上升 微课 函数单调性的定义 Oxyx()f x以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2 Oxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xx
3、Oxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOx()f xxy2()f xxxyOx()f x2()f xx（-，0上 随x的增大而减小;()f x0，+）上 随x的增大而增大.()f x对区间D内 任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间D逐渐上升？OxDy区间D内随着x的增大,y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大
4、图象在区间D逐渐上升 对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的 单调 减 区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说函数f(x)在区间D
5、上是增函数，D称为f(x)的 单调 增区间.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1 单调区间设函数y=f(x)的定义域为I：增函数的定义.（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（3）x1,x2 取值的任意性.（1）如果函数 y=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那 么就说函数 y=f(x)在区间I上具有单调性.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.【特别提醒】2.定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数；()1.函数 f(x)=x2 在是单调增函数；,xyo2yx()【易错点拨】yxO12f(1)f(
6、2)提示:在 不是单调的 ,提示:不具有代表性 xoy=(x-1)2-1 12-1yxy=x3o增区间为(,)增区间为增区间为(,)1,)减区间为(,1xoy=2x+1 yy写出下列函数的单调区间：【即时训练】例1.下图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解析：函数 的单调区间有 yf(x)52)2,1),1,3),3,5,，其中 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 yf(x)52)1,3)，2,1),3,5 整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤 然凉爽
7、了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳 下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00 20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并 说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是 8,12）,13,18）;单调减区间是 12,13）,18,20.【变式练习】0.kpV 分析：即要求证明函数在（，）上是减函数2(例.物理学中的玻意耳定律为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强 将增大.试用函数的单调性证明之.kpkVp21121212()().VVkkp Vp VkVVVV则121 21221,(0,)0;,0.V VVVVVVV由，得由得120,()()0,kp Vp
8、V又于是12()().p Vp V即作差变形 定号 判断 取值 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+)上的任意两个实数，且V1V2,所以，函数 V(0,+)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.kpV，取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1;由x .所以f(x)-f(x)，已知 yf(x)与 yg(x)在区间 A 上均为增函数，判断函数yf(x)g(x)在区间 A 上的增减性解析：在区间 A 内任取两个值 x1、x2，设 x1x2，yf(x)，yg(x)为增函数，f(x2)f(x1)0，g(x2)g(x1)0，f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)f(
9、x2)f(x1)g(x2)g(x1)0.在此题的基础上请同学们继续探究若f(x)、g(x)均为减函数，判断yf(x)g(x)的增减性；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，判断yf(x)g(x)，yg(x)f(x)的增减性并证明。并概括：增函数增函数为增函数，减函数减函数为减函数，增函数减函数为增函数，减函数增函数为减函数f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)，yf(x)g(x)在区间 A 上是增函数函数的 单调性 当c0时，函数f(x)与cf(x)的单调性相同;当c12 Da12【解析】选 D.函数 f(x)(2a1)xb 在 R 上是严格单调减函数，则 2a10，即 a0 成立，则必有(
10、)A函数 f(x)先增加后减少 B函数 f(x)先减少后增加 Cf(x)在 R 上是增函数 Df(x)在 R 上是减函数 【解析】选 C.因为f（a）f（b）ab0 所以，当 ab 时，f(a)f(b)当 ab 时，f(a)f(1-2a),则a的 取值范围是 【解题关键】利用增函数的定义可知，a1-2a,即 1a.31(,)3,12()4fxxa x 7.若二次函数 在区间 上 单调递增，求a的取值范围.二次函数 的对称轴为 ,由图象可知只要 ，即 即可.2()4fxxa x 2ax 12ax 2a oxy1xy1o解析：8.证明函数 在区间 上是增函数.f x2x()2,)证明：任取 ，且 ，12,2,)x x12xx则 1212()()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因为 12120,220，xxxx得 12()()f xf x所以函数 在区间-2,+)上是增函数 ()2f xx 如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.
