1、1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式内 容 标 准学 科 素 养1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1x，y x的导数；2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.明确数学公式强化逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式预习教材P1216，思考并完成以下问题1利用 y2x，y3x，y4x 的图象确定函数的导数分别是什么？并归纳 ykx(kR)的导数是什么？提示：利用导数的几何意义结合图象可得 y2x，y3x，y4x 的导数分
2、别是 y2，y3，y4.归纳可得 ykx(kR)的导数为 yk.2利用 yx，yx2 的导数猜想 yxn(nQ*)的导数是什么？提示：若 yf(x)xn(nQ*)，则 f(x)nxn1.知识梳理 1.几个常见函数的导数公式函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)1xf(x)1x2f(x)xf(x)12 x2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)f(x)x(Q*)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos x f(x)f(x)axf(x)(a0)0 x1cos xsin xaxln a原函数导函数f(x)e
3、xf(x)f(x)logaxf(x)(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)ex1xln a1x思考：1.常用函数的导数有什么特点？提示：(1)常数函数的导数为零(2)有理数幂函数的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去 1.2几个基本初等函数导数公式有什么特点？提示：(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数(3)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数3函数与其导函数的奇偶性有什么关系？提示：(1)常数的导数是 0.(2)奇函数的导函数为偶函数(3)偶函数的导函数为奇函数自我
4、检测1已知函数 f(x)5，则 f(1)等于()A5 B1 C0 D不存在解析：因为 f(x)5，所以 f(x)0，所以 f(1)0.故选 C.答案：C2下列各式正确的是()A(sin)cos(为常数)B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)15x6解析：ysin 为常数函数，且(sin)0，选项 A 不正确；ycos x 为余弦函数，且(cos x)sin x，选项 B 不正确；ysin x 为正弦函数，且(sin x)cos x，选项C 正确；yx5 为幂函数，且(x5)5x6，选项 D 不正确故选 C.答案：C探究一 利用求导公式求函数的导数例 1 求下列函数的导数
5、：(1)yx3；(2)y3x；(3)y x x x；(4)ylog5x；(5)ycos 2x；(6)ysin 6；(7)yln x；(8)yex.解析(1)y3x4.(2)y3xln 3.(4)y 1xln 5.(5)ysin x，ycos x.(6)y0.(7)y1x.(8)yex.方法技巧 利用导数公式求函数导数的注意事项(1)分清所给函数是幂函数、指数函数、对数函数，还是三角函数，然后选择相应的公式，代入求解(2)要特别注意“1x与 ln x”“ax 与 loga x”“sin x 与 cos x”的导数的区别跟踪探究 1.求下列函数的导数：(1)ylg x；(2)y12x；(3)yx
6、x；(4)ysinx2cos x221.解析：(1)y(lg x)1xln 10.(2)y12x 12xln 1212xln 2.(4)因为 ysin x2cos x221sin2 x22sin x2cos x2cos2x21sin x，所以 y(sin x)cos x.探究二 导数公式的综合应用例 2 已知曲线 yln x，点 P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点 P 处的切线方程解析 因为 y1x，所以当 xe 时，y1e，即切线斜率为1e，所以切线方程为 y11e(xe)，即 xey0.延伸探究 1.若本例条件不变，求曲线过 O(0,0)的切线方程解析：因为 O(0,0)不在曲线上，所以
7、设切点为 Q(a，b)，则切线斜率 k1a，又因为 kb0a0，且 bln a，所以 ae，b1，所以切线方程为 xey0.2若本例变为方程 ln xmx 恰有一个根，求 m 的取值范围解析：问题可以转化为函数 yln x 与 ymx 的图象有且仅有一个公共点由图象易知 m0 满足条件另外就是 ymx 是 yln x 的切线时满足条件因为 ymx 图象过(0,0)，所以设切点为 Q(a，b)，则切线斜率 m1a，又因为 mb0a0，且 bln a，所以 ae，b1，m1e，即 m 的取值范围为(，01e.方法技巧(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率
8、就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪探究 2.已知曲线 y x.求：(1)曲线上与直线 y2x4 平行的切线方程；(2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程解析：(1)设切点为(x0，y0)，由 y x得y|xx0 12 x0.因为切线与 y2x4 平行，所以 12 x02，所以 x0 116，所以 y014，所以切点为116，14.则所求切线方程为 y142x 116，即 16x8y10.(2)设切点 P1(x1，x1)，则切线斜率为 y|xx1 12 x1，所以切线方程为 y x1 1
9、2 x1(xx1)，又切线过点 P(0,1)，所以 1 x1 12 x1(x1)，即 x12，x14.所以切线方程为 y214(x4)即 x4y40.课后小结(1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归(2)有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin2x2的导数因为 y12sin2x2cos x，所以 y(cos x)sin x.(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化素养培优没有意识到切点也在曲线上致误易错案例：过原点作曲线 yex 的切线，则切点的坐标为_易错分析：遇到需要设切点的情况，要牢记导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上，考查逻辑推理、数学运算的学科素养自我纠正：yex，设切点为(x0，y0)，则 y0ex0，则切线方程为 yex0ex0(xx0)，由于原点在切线上，则ex0ex0(x0)x01，y0ex0e，即切点为(1，e)答案：(1，e)04 课时 跟踪训练
