1、两个基本原理常见题型解析河北 杨新兰加法原理与乘法原理是排列组合中的两个基本原理，它们不仅是学习排列组合、概率论的思想基础，也是分析、解决排列组合有关应用问题的依据 例1 乘积(a+ a+ a)(b+ b+ b+ b)(c+ c+ c+ c+ c)的展开式中，有多少项？解：首先应明确所完成的事情，即从三个因式中各自取一个字母相乘之积作为展开式中的一项，然后再分析如何完成从第一个因式中选一个字母有3种方法，从第二个因式中选一个字母有4种方法，从第三个因式中选一个字母有5种方法，只有这三步都完成，才能确定展开式中的一项，因而用乘法原理结果为345 = 60 项例2 1800 有多少正约数？解：18
2、00 = 235，1800的约数的结构形式可表示为：235，其中= 0，1，2，3；= 0，1，2；= 0，1，2根据乘法原理，有N = 433 = 36 (个) 约数评注：解决实际问题的原则是要根据过程来设计数学模型，此题先分解质因数，由质因数的种类，可知构成一个约数可分三个步骤，由每种质数可取的个数得到每个步骤有几中方法例3 5名学生争夺3项比赛冠军，获得冠军的可能情况种数共有多少？ 数、理、化三科教师都布置了作业，求在同一时刻5名学生都做作业的所有可能情况的种数？解：完成这件事情（决定三个冠军），需要分三步，每一项冠军都可以由5个人中的一人得到，故共有555 = 125 (种) 完成这件
3、事情（5名学生同时做作业），需要分5步，即每个学生做作业均有3种情况，所以5名学生同时做作业的情况共有33333 = 243 (种) 评注：在分类或分步时，必须有明确的标准，这样才可做到使结果不重、不漏，如题以三项冠军为标准（位置）从而分3步，如果以人（学生）为标准分5步，每步有3种情况（显然不对）漏掉不得冠军的情况，并且重复现象也明显题以学生为标准，分5步，同样可知得5也不对例4 求从集合M = 1，2，3到集合N = 1，2，3，4的不同映射个数解：由映射定义知，集合M中的每个元素必须与集合N中的一个元素对应第一步，集合M中的元素1与集合N中的四个元素中的任一个对应，则有4种方法；第一步，
4、集合M中的元素2与集合N中的四个元素中的任一个对应，则有4种方法；第一步，集合M中的元素3与集合N中的四个元素中的任一个对应，则有4种方法由乘法原理，得 444 = 64 个不同映射例5 用n种不同颜色为广告牌着色(如图甲)，要求在、个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色图甲当n = 6时，为图甲着色时共有多少种不同的着色方法若为图乙着色时共有120种不同的着色方法，求n 解：完成着色这件事，共分四个步骤进行，可依次考虑、 、着色时各自的方法数，再由乘法原理确定总的着色方法数 图乙为着色有6种方法，为着色有5种方法，为着色有4种方法，为着色也有4种方法所以共有着色方法：6544 = 480 (种)与的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块，同理不同的着色方法数是：n(n1)(n2)(n3) 由 n(n1)(n2)(n3) = 120 ， (n3n)( n3n + 2) 120 = 0， (n3n)+ 2(n3n)1210 = 0 ， n3n10 = 0 ， n = 5
