1、31.4 空间向量的正交分解及其坐标表示内 容 标 准学 科 素 养1.掌握空间向量基本定理，会用空间向量基本定理解决问题2.了解空间向量正交分解的含义3.理解空间向量坐标的含义，能用坐标表示空间向量.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 空间向量基本定理预习教材P9294，思考并完成以下问题我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不共线的向量 a，b 来表示(平面向量基本定理)对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？如图，设 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 O.对于空
2、间任意一个向量 pOP，设点 Q 为点 P 在 i，j 所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在OQ，k 所确定的平面上，存在实数 z，使得OP OQ zk.在 i，j 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OQ xiyj.从而OP OQ zkxiyjzk.由此可知，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 p，存在一个有序实数组x，y，z，使得pxiyjzk.在空间中，如果用任意三个不共面向量 a，b，c 代替两两垂直的向量 i，j，k，可以得出类似的结论 知识梳理 空间向量基本定理定理：如果三个向量 a，b，c，那么对空间任
3、一向量 p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得.其中a，b，c叫做空间的一个，a，b，c 都叫做基向量不共面pxaybzc基底知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理(1)单位正交基底三个有公共起点 O 的的单位向量 e1，e2，e3 称为单位正交基底(2)空间直角坐标系以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为，分别以 e1，e2，e3的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量 p，一定可以把它，使它的起点与原点 O 重合，得到向量OPp.由空间向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得 pxe1ye
4、2ze3.把称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作 p(x，y，z)两两垂直原点平移x，y，z自我检测1已知a，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量 pab，qab 构成基底的向量是()Aa BbCa2bDa2c答案：D2在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若AB 3i，AD 2j，AA1 5k，则AC1 等于()AijkB.13i12j15kC3i2j5kD3i2j5k答案：C3若 a3e12e2e3，且e1，e2，e3为空间的一个单位正交基底，则 a 的坐标为_答案：(3,2，1)探究一 对基底与基向量的理解教材 P94练习 1已知向量a，b，c是空间的一个
5、基底，从 a，b，c 中选哪一个向量，一定可以与向量 pab，qab 构成空间的另一个基底？解析：向量 c 一定可以与 p，q 一起构成空间的另一个基底pab，qab 与 a，b 共面，只有 c 不与 p，q 共面例 1 判断下列说法是否正确？并说明理由(1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底；(2)基向量中可以含有零向量，但至多一个；(3)如果向量 a，b 与空间任何向量都不能构成一组基底，那么向量 a，b 一定是共线向量；(4)如果向量组a，b，c是空间的一个基底，且 mac，那么a，b，m也是空间的一组基底解析(1)错误，因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底(2)错误，基向量
6、中一定不可以含有零向量(3)正确，向量 a，b 与空间任何向量都不能构成一组基底，说明向量 a，b 与空间任何向量都是共面向量，从而 a，b 一定是共线向量(4)正确，因为若 a，b，m 共面，则存在唯一实数对(x，y)，使得 mxayb，即 acxayb，所以(x1)aybc0，而 a，b，c 不共面，所以 x1y10，这显然不成立，故 a，b，m 不共面，即a，b，m也是空间的一组基底方法技巧 1.对于基底a，b，c，(1)a，b，c 一定不共面；(2)a，b，c 中一定没有零向量2判断 a，b，c 可否作为空间的一个基底，即判断 a，b，c 是否共面，若不共面则可以作为基底，否则不能作为
7、基底，实际判断时，假设 abc，运用空间向量基本定理建立，的方程组，若有解则共面，否则不共面跟踪探究 1.已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空间的一个基底解析：假设OA，OB，OC 共面，则存在实数，使得OA OB OC，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3.e1，e2，e3 不共面，31，2，21，此方程组无解，OA，OB，OC 不共面，故OA，OB，OC 能作为空间的一个基底探究二 用基底表示空间向量阅读教材 P94例 4如图，M，N 分别是四面
8、体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等分点用向量OA，OB，OC表示OP 和OQ.题型：用基底表示空间向量方法步骤：(1)利用向量加法的三角形法则OP OM MP；OQ OM MQ.(2)由 M，N，P，Q 的位置，根据向量的数乘运算得出OP 16OA 13OB OC；OQ 13OA 16OB 16OC.例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO平面OABC，设OA a，OC b，OP c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示BF，BE，AE，EF.解析 连接 BO，则BF 12BP12(BO OP)12(cba)12a12b1
9、2c.BE BC CE a12CPa12(CO OP)a12b12c.AE APPEAO OP 12(PO OC)ac12(cb)a12b12c.EF 12CB 12OA 12a.方法技巧 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的2用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示3在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底跟踪
10、探究 2.如图所示，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，设AB a，AD b，AA1 c，P 是 CA1 的中点，M 是 CD1 的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)AP；(2)AM.解析：如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中连接 AC，AD1，(1)AP12(AC AA1)12(AB AD AA1)12(abc)(2)AM 12(AC AD1)12(AB 2AD AA1)12ab12c.探究三 空间向量的坐标表示教材 P97练习 2 如图，正方体的棱长为 2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学进行交流解析：以 OA，OC，OO为 x
11、轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，O(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)例 3 在直三棱柱 ABO-A1B1O1中，AOB2，AO4，BO2，AA14，D 为 A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求DO，A1B 的坐标解析 由题意 OAOB，OO1OA，OO1OB，所以以 OA，OB，OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图则O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0
12、,2,4)，D(2,1,4)，DO(2，1，4)，A1B(4,2，4)方法技巧 1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上2求空间向量坐标的一般步骤：(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标跟踪探究 3.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC
13、 的中点，并且 PAAD1，建立适当坐标系，求向量MN 的坐标解析：以 AD，AB，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则 M0，12，0，N12，12，12.MN 12，0，12.课后小结(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，任一向量可由基底唯一表示(2)向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示，表示时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算素养培优1用错线段的关系式致误已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA 上，且 OM2MA，点 N 为 BC 的中点，设OA a，OB b，OC c，则用基底a，b，c表示MN 为_易错分析
14、由 OM2MA，误以为 M 为线段 OA 的中点，得OM 12OA，导致本题错误考查直观想象、逻辑推理的学科素养自我纠正 N 为 BC 的中点，ON 12(OB OC)又 OM2MA，则OM 23OA，MN ON OM 12(OB OC)23OA 12b12c23a.答案：12b12c23a2建立空间直角坐标系不当致误如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知ABC 的边长为 1，三棱柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，则AB1，AC1 的坐标分别为_，_.易错分析 解答本题时，容易以AB，AC，AA1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建错空间直角坐标系，这里忽视了向量所在直线的垂直性而致误考查直观想象的学科素养自我纠正 分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为原点，分别以DC，DA，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)则 A0，32，0，B112，0，2，C112，0，2，于是AB1 12，32，2，AC1 12，32，2.答案：12，32，2 12，32，204 课时 跟踪训练
