1、24.2 抛物线的简单几何性质内 容 标 准学 科 素 养1.掌握抛物线的简单几何性质2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题3.掌握直线与抛物线的位置关系.利用直观想象提升逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 抛物线的几何性质预习教材P6869，思考并完成以下问题类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？提示：范围、对称性、顶点、离心率等 知识梳理 抛物线的几何性质设图形中的 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形标准方程
2、y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)范围 ，yR ，yR xR，xR，对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦半径|P1F|p2x1|P1F|p2x1|P1F|p2y1|P1F|p2y1焦点弦|P1P2|p(x1x2)|P1P2|p(x1x2)|P1P2|p(y1y2)P1P2p(y1y2)顶点(0,0)性质离心率e1 x0 x0 y0 y0 知识点二 直线与抛物线的位置关系知识梳理 直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程组ykxb，y22px解的个数，即二次方程 k2x22(kbp)xb20 解的个数当 k0 时，若 0，则直
3、线与抛物线有个不同的公共点；若 0，直线与抛物线有个公共点；若 0)上的一点，则下列点一定在抛物线上的是()A(a，b)B(a，b)C(a，b)D(b，a)答案：B3直线 y2x1 与抛物线 x212y 的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定答案：C3直线 y2x1 与抛物线 x212y 的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定探究一 抛物线几何性质的应用阅读教材 P68例 3已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2，2 2)，求它的标准方程题型：利用抛物线的几何性质，求其标准方程方法步骤：(1)根据条件设出抛物线的标准方程(2)将点 M 代入标准方程，求出 p
4、 的值(3)写出抛物线的标准方程例 1(1)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 3，则抛物线的焦点坐标为()A(2,0)B(1,0)C(8,0)D(4,0)解析 因为ca2，所以c2a2a2b2a24，于是 b23a2，则ba 3，故双曲线的两条渐近线方程为 y 3x.而抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2，所以 Ap2，3p2，Bp2，3p2，则 AB 3p，又三角形的高为p2，则 SAOB12p2 3p 3，即 p24.因为 p0，所以 p2，故抛
5、物线焦点坐标为(1,0)答案 B(2)已知双曲线方程是x28 y291，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解析 因为双曲线x28 y291 的右顶点坐标为(2 2，0)，所以p22 2，且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为 y28 2x，其准线方程为x2 2.方法技巧(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程
6、跟踪探究 1.已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点 M(1，2)求抛物线的标准方程和准线方程解析：(1)当抛物线的焦点在 x 轴上时，设其标准方程为 y2mx(m0)将点 M(1，2)代入，得 m4.抛物线的标准方程为 y24x；(2)当抛物线的焦点在 y 轴上时，设其标准方程为 x2ny(n0)将点 M(1，2)代入，得 n12.抛物线的标准方程为 x212y.故所求的抛物线的标准方程为 y24x 或 x212y.准线方程为 x1 或 y18.探究二 焦点弦问题阅读教材 P69例 4斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于A，B 两点，求线段
7、 AB 的长题型：焦点弦的计算方法步骤：(1)写出抛物线的焦点坐标，从而由点斜式求出直线 l 的方程(2)直线与抛物线联立方程组，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，设而不求及根与系数的关系(3)由焦点弦公式|AB|px1x2，求出弦 AB 的长例 2 已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且|AB|52p，求 AB 所在的直线方程解析 由题意知焦点 Fp2，0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 ABx 轴，则|AB|2p0，即 k1，且 k0 时，l 与 C 有两个公共点，此时直线 l 与 C 相交；当 0，即 k1 时，l 与
8、 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相切；当 1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离综上所述，当 k1 或 0 时，l 与 C 有一个公共点；当 k1 时，l 与 C 没有公共点答案(1)B(2)见解析方法技巧 设直线 l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x(或 y
9、)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或 Ay2ByC0)相交：a.有两个交点：A0，0；b有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即A0，0；相离：没有公共点，即A0，0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件素养培优1定点问题已知抛物线 y28x 的顶点为 O，点 A，B 在抛物线上，且 OAOB，求证：直线 AB经过一个定点证明：设直线 OA 的斜率为 k，则直线 OB 的斜率为1k，则直线 OA 的方程为 ykx，由ykx，y28x，得 A 8k2，8k，同理可得 B(8k2,8k)，于是直线 AB 的方程为 y8k8k8k8
10、k28k2(x8k2)，整理可得 yk1k2(x8)，因此直线AB 经过定点(8,0)方法技巧 定点问题的常见解法(1)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意(2)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点2定值问题如图所示，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值证明：设直线 AB 的斜率为 k(k0)因为直线 AB，AC 的倾斜角互补，所以直线 AC 的斜率为k(k0)又直线 AB 的方程是
11、yk(x4)2.由方程组ykx42，y2x，消去 y 整理得，k2x2(8k24k1)x16k216k40.因为 A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，所以 4xB16k216k4k2，得 xB4k24k1k2，以k 代替 xB 中的 k，得 xC4k24k1k2，所以 kBCyByCxBxCkxB42kxC42xBxCkxBxC8kxBxCk8k22k28k8kk214，故直线 BC 的斜率为定值方法技巧 求定值问题常见的方法解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决其证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：变量选择适当的量作为变量；函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值04 课时 跟踪训练
