1、基础达标一、选择题1. (2012高考陕西卷)如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C. D.解析:选A.不妨令CB1,则CACC12.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),(0,2,1),(2,2,1),cos,0,与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.2已知正方体ABCDA1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A. B.C. D.解析:选C.建立空间直角坐标系如图所示设正方体的
2、棱长为1,直线BC1与平面A1BD所成的角为,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,0,1)设n(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则,令z1,则x1,y1.n(1,1,1),sin |cosn,|.二、填空题3(2014江苏徐州一模)在ABCD中,ABAC1,ACD90,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60角,则B,D两点间的距离为_解析:如图所示ABAC1,AD,BC,|2()()222222222.ABAC,CDAC,0,0.当B,D在AC两侧时,和成60角;当B,D在AC同侧时,和
3、成120角|2222211cos 60,或|2222211cos 120,|212121214,|2,或|211112,|.答案:2或 4(2014浙江温州质检)如图(1),在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF,使平面AEF平面BEF,则二面角AFDC的余弦值为_解析:取线段EF的中点H,连接AH.AEAF,H是EF的中点,AHEF.又平面AEF平面BEF,AH平面BEF.如图(2),可建立空间直角坐标系Axyz,则A(2,2,2),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0),故(2,2,2),(6,0,0)设n(x
4、,y,z)为平面AFD的一个法向量,取z,则n(0,2,)又平面BEF的一个法向量m(0,0,1),故cosn,m,二面角的余弦值为.答案:三、解答题5(2013高考江苏卷) 如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,点D是BC的中点 (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以(2,0,4),(1,1,4)因为cos,所以异面直线A
5、1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x,y,z),因为(1,1,0),(0,2,4),所以n10,n10,即xy0且y2z0,取z1,得x2,y2,所以,n1(2,2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |,得sin .因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.6(2014宜昌市模拟)如图,在底面是正方形的四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,BD交AC于点E,F是PC的中点,G为AC上一点(1)确定点G在线段AC上的位置,使FG平面PBD,并说明理由
6、;(2)当二面角BPCD的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值解:(1)当G为EC中点,即AGAC时,FG平面PBD,理由如下:连接PE(图略),由F为PC中点,G为EC中点,知FGPE,而FG平面PBD,PB平面PBD,故FG平面PBD.(2)作BHPC于H,连接DH(图略)因为 PA面ABCD,四边形ABCD是正方形,所以PBPD,又因为BCDC,PCPC,所以PCBPCD,所以DHPC,且DHBH.所以BHD是二面角BPCD的平面角,即BHD.因为PA面ABCD,所以PCA就是PC与底面ABCD所成的角连接EH,则EHBD,BHE,EHPC,所以tanBHE,BEEC.所以,所以
7、sinPCA,所以tanPCA.所以PC与底面ABCD所成角的正切值是.能力提升1. 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA1,点D是A1B1的中点,点E在A1C1上且DEAE. (1)证明:平面ADE平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值解:(1)证明:由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1,所以DEAA1.而DEAE,AA1AEA,所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE,故平面ADE平面ACC1A1.(2)如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系不妨设AA1,则AB2,相关各点的坐标分别是A(0
8、,1,0),B(,0,0),C1(0,1,),D.易知(,1,0),(0,2,),.设平面ABC1的一个法向量为n(x,y,z),则有解得xy,zy.故可取n(1,)所以cosn,.由此即知,直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.2(2013高考湖北卷)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足.记直线PQ与平面ABC所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,二面角ElC的大小为,求证:s
9、in sin sin .解:(1)直线l平面PAC.证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EFAC.又EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF平面ABC.而EF平面BEF,且平面BEF平面ABCl,所以EFl.因为l平面PAC,EF平面PAC,所以直线l平面PAC.(2)法一(综合法):如图(1),连接BD,由(1)可知交线l即为直线BD,且lAC.因为AB是O的直径,所以ACBC,于是lBC.已知PC平面ABC,而l平面ABC,所以PCl.而PCBCC,所以l平面PBC.连接BE,BF,因为BF平面PBC,所以lBF.故CBF就是二面角ElC的平面角,即CBF.由,作D
10、QCP,且DQCP.连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP2PF,所以DQPF,从而四边形DQPF是平行四边形,PQFD.连接CD,因为PC平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即CDF.又BD平面PBC,所以BDBF,所以BDF为锐角故BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即BDF,于是在RtDCF,RtFBD,RtBCF中,分别可得sin ,sin ,sin ,从而sin sin sin ,即sin sin sin .法二(向量法):如图(2),由,作DQCP,且DQCP.连接PQ,EF,BE,BF,BD.由(1)可知交线l即为直线BD.以
11、点C为原点,向量,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系,设CAa,CBb,CP2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E,F(0,0,c)于是,(a,b,c),(0,b,c),所以cos ,从而sin .取平面ABC的一个法向量为m(0,0,1),可得sin .设平面BEF的一个法向量为n(x,y,z)由可得取n(0,c,b)于是|cos |,从而sin .故sin sin sin ,即sin sin sin .3. (2014江西省七校联考)如图,ABCD是边长为3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,D
12、E3AF,BE与平面ABCD所成的角为60. (1)求证:AC平面BDE;(2)求二面角FBED的余弦值;(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM平面BEF,并证明你的结论解:(1)证明:DE平面ABCD,DEAC.ABCD是正方形,ACBD,又DEBDD,AC平面BDE.(2)DE平面ABCD,EBD就是BE与平面ABCD所成的角,即EBD60.由AD3,得BD3,DE3,AF.如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0)(0,3,),(3,0,2)设平面BEF的一个法向量为n(x,y,z),则,即.令z,则n(4,2,)AC平面BDE,(3,3,0)为平面BDE的一个法向量cosn,.故二面角FBED的余弦值为.(3)依题意,设M(t,t,0)(t0),则(t3,t,0),AM平面BEF,n0,即4(t3)2t0,解得t2.点M的坐标为(2,2,0),此时,点M是线段BD上靠近B点的三等分点