1、2012-2013学年上海市七宝中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1（3分）=考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：对已知式平方，求出sin的值，即可解答：解：，所以sin=；故答案为：点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，注意二倍角公式的应用，常考题型2（3分）函数的周期为考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：先求出函数y=tan（2x）的周期为 ，结合函数的图象特征可得函数的周期解答：解：由于函数y=tan（2x）的周期为 ，结合函数的图象特征可得，函数的图象，是把函数y=tan（2x）的图象中位于
2、x轴下方的部分沿着x轴对称到x轴的上方去，位于x轴上方的部分保持不变得到的，故函数的不变，周期仍为，故答案为 函数 的图象如图所示：点评：本题主要考查正切函数的图象特征，正切函数的周期性，属于中档题3（3分）如果tancos0，那么角的终边在第三或四象限考点：三角函数值的符号专题：三角函数的图像与性质分析：利用角所在的象限与三角函数值的符号的关系即可得出解答：解：tancos=cos=sin0且cos0角的终边在第三或第四象限角故答案为：三或四点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦”4（3分）若2弧度的
3、圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是4cm2考点：扇形面积公式专题：计算题分析：先求出扇形的弧长，利用周长求半径，代入面积公式s=r2进行计算解答：解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，所以扇形的面积为：=4cm2；故答案为4cm2点评：本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力5（3分）方程|sinx|=1的解集是x|x=k+，kZ考点：带绝对值的函数；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：根据绝对值的意义，去掉绝对值，得到角的正弦值等于正负1，当正弦值等于1时，写出角的结果，当正弦值等于1时，写出角的结果，把两个结果整理成一个
4、表达式，得到结果解答：解：|sinx|=1，sinx=1当sinx=1时，x=2k+，kz当sinx=1时，x=2k，kzx=k+，kz故答案为：x|x=k+，kZ点评：本题考查带有绝对值的函数及正弦函数的定义域和值域，本题解题的关键是去掉绝对值，得到正弦函数的等式，本题是一个基础题6（3分）求值：cos2+cos2（+120）+cos2（+240）的值为 考点：三角函数的化简求值专题：计算题分析：利用诱导公式把cos2（+120）+cos2（+240）转化为cos2（60）+cos2（+60）展开后，利用同角三角函数的基本关系求得答案解答：解：cos2+cos2（+120）+cos2（+24
5、0）=cos2+cos2（60）+cos2（+60）=cos2+cos2+sin2=故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用考查了学生对三角函数基本公式 的应用7（3分）已知，则=考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：根据两角和与差的三角函数，分别求出sincos，cossin的值，进而求得解答：解：由已知可得：由得，sincos=，cossin=故答案为：点评：本题考查了三角函数的和与差公式应用，考查计算能力，常考题型，属于基础题型8（3分）设0，且函数f（x）=sin（x+）+cos（x）是偶函数，则 的值为考点：余弦函数的
6、奇偶性专题：计算题分析：从偶函数的定义入手，注意适当变形，通过待定系数法求解解答：解：f（x）=sin（x+）+cos（x）=sincosxcossinx+cosxcossinxsin=f（x）=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsincossinxsinxsin=sinxcos+sinxsin2sinxcos=2sinxsinsinx（sin+cos）=0=（2k+1）+，kZ因为0，所以=故答案为：点评：本题通过偶函数来考查待定系数法求参数的值，还涉及到两角和与差的三角函数公式的正用注意角的范围9（3分）若，则cosxsinx=考点：对数的运算性质；同角三角函数间的基
7、本关系专题：计算题分析：由已知中，由对数的运算性质我们可得sinx+cosx=，利用平方法，可先后求出2sinxcosx值和（cosxsinx）2值，进而根据，我们可以确定cosxsinx的符号，进而得到答案解答：解：sinx+cosx=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=2sinxcosx=（cosxsinx）2=12sinxcosx=1=又cosxsinxcosxsinx=故答案为：点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，同角三角函数间的基本关系，其中利用平方法先后求出2sinxcosx值和（cosxsinx）2值，是解答的关键，本题易忽略的限制，而错解为10（3分）设函数f
8、（x）是以2为周期的奇函数，且f（）=7，若sin=，则f（4cos2）的值为7考点：三角函数的恒等变换及化简求值专题：计算题分析：利用二倍角的余弦函数公式化简cos2，把sin的值代入求出cos2的值，进而得到f（4cos2）=f（），然后由函数f（x）是以2为周期的奇函数，可求得f（）的值解答：解：sin=，cos2=12sin2=，f（4cos2）=f（），又函数f（x）是以2为周期的奇函数，f（）=7，f（）=7，则f（）=f（2+）=f（）=7故答案为：7点评：本题考查的知识点是二倍角的余弦函数公式，其中根据已知中函数的周期性与奇偶性，寻找已知与求知函数值之间的关系是解答本题的关键1
9、1（3分）设tan和tan是方程mx2+（2m3）x+m2=0的两个实根，则tan（+）的最小值为考点：两角和与差的正切函数；一元二次方程的根的分布与系数的关系专题：计算题分析：先根据tan和tan是方程mx2+（2m3）x+m2=0的两个实根，得到两根之和以及两根之积的表达式，并根据有根得到m的取值范围，再结合两角和的正切公式即可得到结论解答：解：=（2m3）24m（m2）=4m+90，m且m0，tan+tan=，tantan=tan（+）=且故答案为：点评：本题主要考查一元二次方程中根于系数的关系以及两角和的正切公式的应用考查计算能力12（3分）下列命题：终边在坐标轴上的角的集合是|，kZ
10、；若2sinx=1+cosx，则tan必为；ab=0，asinx+bcosx=sin（x+），（|）中，若a0，则=arctan；函数y=sin（）在区间，上的值域为，；方程sin（2x+）a=0在区间0，上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=其中正确命题的序号为考点：正弦函数的定义域和值域；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系；正弦函数的图象专题：综合题分析：根据终边在x轴上的角的集合为|=k=，kZ，终边在y轴上的角的集合为|=k=，kZ即可判断出正确可取x=符合条件但结论不成立此结论是常用的辅助角公式故正确令t=则由x的范围求出t的范围再结合y=sint的图象以及t的范围即可
11、判断出此命题的正误利用换元法再结合数形结合的思想可作出判断解答：解：由于终边在x轴上的角的集合为|=k=，kZ，终边在y轴上的角的集合为|=k=，kZ所以终边在坐标轴上的角的集合为|=k=，kZ|=k=，kZ=|，kZ故对由于当x=时2sinx=1+cosx仍成立但tan=tan没意义故错当ab0时asinx+bcosx=（sinx+cosx）由于故可令cos=则sin=所以asinx+bcosx=sin（x+）（|）中，若a0，则=arctan故对令t=则由于x，故t，结合函数y=sint在t，上的图象可知其值域为，1故错令y=sin（2x+）=sint则t，在同一直角坐标系中作出y=sin
12、t，t，的图象和y=a使得两图象有两个交点则可得t1+t2=即2+2=所以x1+x2=故对故答案为 点评：本题主要考查了命题真假的判断解题的关键是把握住此类问题的判断准则“正确的给出证明，错误的举出反例”！二、选择题（每小题4分，共16分）13（4分）若A，B为锐角三角形ABC的两个内角，则点P（sinAcosB，cosAsinB）位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：三角函数值的符号专题：计算题分析：由A，B为锐角三角形的两个内角，知A+B，所以sinAcosB0，同理可得cosAsinB0，由此能求出点P所在的象限解答：解：A，B为锐角三角形的两个内角，A+B，AB0，si
13、nAsin（B）=cosB，sinAcosB0，同理可得cosAsinB0，故选D点评：本题考查三角函数值的符号，解题时要认真审题，仔细解答14（4分）函数f（x）=的定义域是（）ARB2k，2k+（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k+（kZ）考点：函数的定义域及其求法专题：计算题分析：首先根号下大于等于0，即sin（cos x）0，利用正弦函数的图象，可得2kcos x2k+，借助于余弦函数的有界性可求解答：解：首先根号下大于等于0，即sin（cos x）0；又由sin x0得，2kx2k+（k为整数），所以2kcos x2k+，1cos x1，所以k取0，即0cos x1，所以2k，2
14、k+（k为整数）故选D点评：本题的考点是函数的定义域及其求法，主要考查函数的定义域，涉及三角函数，三角不等式的求解，15（4分）函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象（）A.向左平移单位B向右平移单位C向左平单位D向右平移单位考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题分析：根据函数的平移变化，分析选项可得答案解答：解：要得到函数 的图象可将y=sin2x的图象向左平移 或向右平移单位故选D点评：本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减16（4分）函数f（x）=cosx|tanx|在区间上的图象为（）ABCD考点：正弦函数的图象；函数y=Asi
15、n（x+）的图象变换专题：计算题分析：去掉绝对值符号，将f（x）化简，即可判断选项解答：解：f（x）=cosx|tanx|，当，f（x）=cosxtanx=sinx当，f（x）=sinx，对照选项C正确，故选C点评：此题解题的关键是化简函数的表达式，通过基本三角函数的图象判断选项，考查计算能力三、解答题（共48分）17（8分）已知，都是锐角，求sin的值考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的图像与性质分析：由，都是锐角，得出+的范围，由sin和cos（+）的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos和sin（+）的值，然后把所求式子的角变为（+），利用两角和与
16、差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值解答：解：，0+sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围18（8分）定义行列式运算=a1a4a2a3若=0（1）求tanA的值；（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（xR）的值域考点：二阶行列式的定义；二次函数的性质；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：（1）根据二阶行列式的定义，利用二阶行列式的基本运算求得得 sinA2cosA=0，利用tanA=求得答案；（2）首先对函数f（
17、x）化简，然后根据sinx1，1，可知当 时，f（x）有最大值；当sinx=1时，f（x）有最小值，求出函数的值域解答：解：（1）由=0，得sinA2cosA=0，cosA0，tanA=2（4分）（2）f（x）=cos2x+2sinx=2（sinx）2+，xR，sinx1，1，当sinx=时，f（x）有最大值；当sinx=1，f（x）有最小值3所以，值域为3，（6分）点评：本题考查二阶行列式的定义，三角函数的二倍角，函数的值域，做题时注意正弦函数的值域属于基础题19（8分）若，且（1）求sin2的值；（2）求的值考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：（1）由的范围，求出2的范围，根
18、据cos（+）的值，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简所求的式子，把cos（+）的值代入即可求出值；（2）由的范围，求出+的范围，由cos（+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（+）的值，进而求出tan（+）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简可得出所求式子的值解答：解：（1），又，则；（2），又，sin（+）=，tan（+）=，则=点评：此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键20（12分）已知函数f（x）=2sin2（），（1）写出函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调递减
19、区间；（3）若不等式|f（x）m|2在上恒成立，求实数m的取值范围考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为2sin（2x）+1，由此求得函数的周期（2）由2x2k+，2k+，kZ，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递减区间（3）首先根据角的范围求出f（x）的最值，然后由已知条件得出f（x）2mf（x）+2，进而推出mf（x）max2且mf（x）min+2，即可得出答案解答：解：（1）f（x）=2sin2（）=1cos（+2x）cos2x=1+sin2xcos
20、2x=2sin（2x）+1函数f（x）的最小正周期T=（2）2x2k+，2k+，kZ 解得：xk+，k+，kZ 函数f（x）的单调递减区间k+，k+，kZ（3）2x，即2sin（2x）+13，f（x）max=3 f（x）min=2|f（x）m|2f（x）2mf（x）+2mf（x）max2且mf（x）min+2，1m4，即m的取值范围是（1，4）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值、周期性和求法，属于中档题21（12分）如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD
21、上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点设TAP=，长方形PQCR的面积为S平方米（1）求S关于的函数解析式；（2）求S的最大值及此时的值考点：已知三角函数模型的应用问题专题：三角函数的图像与性质分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，求出PR、PQ的值，从而可得长方形PQCR的面积关于的函数解析式；（2）利用换元法转化为t的函数，再利用配方法，即可求得结论解答：解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PEAB，PFAD，由TAP=，可得EP=6cos，FP=6sin，PR=76sin，PQ=76cos，S=PRPQ=（76sin）（76cos）=4942（sin+cos）+36sincos故S关于的函数解析式为S=4942（sin+cos）+36sincos（4分）（2）由sin+cos=t，可得t2=（sin+cos）2=1+2sincos，即，S=4942t+18（t21）=18t242t+31 （7分）又由，可得，故，S关于t的表达式为S=18t242t+31（）（9分）又由，可知当时，S取最大值，故S的最大值为 （12分）点评：本题考查三角函数模型的建立，考查换元法、配方法的运用，考查学生的计算能力，求得函数解析式是关键
