1、2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1两直线（2m1）x+y3=0与6x+my+1=0垂直，则m的值为（）A0BCD0或2过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A3x2y=0Bx+y5=0C3x2y=0或x+y5=0D2x3y=0或x+y5=03已知圆O1：（x1）2+（y+3）2=4，圆O2：（x2）2+（y+1）2=1，则两圆的位置关系是（）A相交B内切C内含D外切4双曲线=1的渐近线方程是（）ABCD5如果方程x2+=2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，2）
2、B（1，+）C（0，1）D（1，2）6圆x2+y2=1与直线y=kx3有公共点的充分不必要条件是（）ABCk2D7在圆x2+y24x4y2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A5B10C15D208已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2）BC2，+）D9已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F且斜率为的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD10已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1
3、，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D11已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（，）D（1，）12已知点P是椭圆=1（xy0）上的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且=0，则|的取值范围是（）A（0，3）B（2，3）C（0，4）D（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数x，y满足方程（x2）2+y
4、2=3，则的最小值14已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线xy+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得，则x0的取值范围是15设点P是椭圆=1（ab0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为16以下四个命题中：已知圆C上一定点A和一动点B，O为坐标原点，若），则动点P的轨迹为圆；设A、B为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点P的轨迹为双曲线；0，则双曲线C1： =1与C2： =1的离心率相同；已知两定点F1（1，0），F2（1，0）和一动点P，若|PF1|PF2|=a2（a0），则点P的轨迹关于原点对称其
5、中正确命题的序号为三、解答题：本大题共6小题，共70分17已知圆C经过点A（2，0）、B（1，），且圆心C在直线y=x上（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程18已知中心在原点的双曲线的右焦点为F（2，0），右顶点为A（1，0）（1）试求双曲线的方程；（2）过左焦点作倾斜角为的弦MN，试求OMN的面积（O为坐标原点）19已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且过点A（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程20已知椭圆=1（ab0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为（1）求椭圆的标准方程；
6、（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点点P（2，1）为椭圆上一点，求PAB的面积的最大值21已知椭圆C： =1（ab0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tanF1PF2=4（）求椭圆C的方程；（）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由22已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl，求四边形F
7、1MNF2的面积；（3）过椭圆C内一点T（t，0）作两条直线分别交椭圆C于点A，C，和B，D，设直线AC与BD的斜率分别是k1，k2，若|AT|TC|=|BT|TD|试问k1+k2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1两直线（2m1）x+y3=0与6x+my+1=0垂直，则m的值为（）A0BCD0或【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值【解答】解：（2m1）x+y3=0
8、与6x+my+1=0，6（2m1）+m=0，解得m=，故选：C2过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A3x2y=0Bx+y5=0C3x2y=0或x+y5=0D2x3y=0或x+y5=0【考点】直线的截距式方程【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程【解答】解：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x
9、2y=0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为：把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5所以直线l的方程为：x+y5=0故选C3已知圆O1：（x1）2+（y+3）2=4，圆O2：（x2）2+（y+1）2=1，则两圆的位置关系是（）A相交B内切C内含D外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距与半径之和、差的关系，可得两圆的位置关系【解答】解：圆O1的圆心为O（1，3），半径等于2，圆O2的圆心为（2，1），半径等于1，它们的圆心距等于=，因为212+1，故两个圆相交，故选：A4双曲线=1的渐近线方程是（）ABCD【考点】双曲线的简单
10、性质【分析】令双曲线方程的右边为0，整理后就得到双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=x故选：B5如果方程x2+=2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（0，2）B（1，+）C（0，1）D（1，2）【考点】椭圆的简单性质【分析】方程x2+=2即为+=1，由题意可得02k2，解出即可【解答】解：方程x2+=2即为+=1，表示焦点在x轴上的椭圆，即有02k2，即0k1故选：C6圆x2+y2=1与直线y=kx3有公共点的充分不必要条件是（）ABCk2D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx3有公共
11、点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kxy3=0的距离d=，即，k2+19，即k28，k或k，圆x2+y2=1与直线y=kx3有公共点的充分不必要条件是k，故选：B7在圆x2+y24x4y2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A5B10C15D20【考点】直线与圆相交的性质【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形B
12、ME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y2）2=10，则圆心坐标为（2，2），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME=，所以BD=2BE=2，又ACBD，所以四边形ABCD的面积S=ACBD=22=10故选B8已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2）BC2，+）D【考点】双曲线的简单性质【分析】要使直线与双曲线有
13、两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即tan30=，即bab=a，整理得cae=双曲线中e1故e的范围是（1，）故选B9已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F且斜率为的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段A
14、B的中点坐标为（1，1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入椭圆方程，两式相减可得+=0，线段AB的中点坐标为（1，1），=，直线的斜率为，=，右焦点为F（3，0），a2b2=9，a2=18，b2=9，椭圆方程为：故选：D10已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，
15、以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|31=4=4=54故选：B11已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A（2，+）B（，2）C（，）
16、D（1，）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（xc），与y=x联立，可得交点M（，），点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有+c2，3，即b23a2，c2a23a2，即c2a则e=2双曲线离心率的取值范围是（2，+）故选A12已知点P是椭圆=1（xy0）上的动点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上
17、的一点，且=0，则|的取值范围是（）A（0，3）B（2，3）C（0，4）D（0，2）【考点】椭圆的应用【分析】作出椭圆的图象，通过观察图象可以发现，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合由此能够得到|的取值范围【解答】解：如图，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时取最小值0当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时取大值2xy0，|的取值范围是（0，2）故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数x，y满足方程（x2）2+y2=3，则的最小值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（x2）2+y2=3
18、表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设=k，即y=kx进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值【解答】解：（x2）2+y2=3表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，由=，解得k2=3kmax=，kmin=，故答案为：14已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线xy+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得，则x0的取值范围是2，0【考点】直线与圆相交的性质【分析】过M作O切线交C于R，则OMROMN，由题意可得OMR，|OM|2再根据M（x0，2+
19、x0），|OM|2=x02+y02=2x02 +4x0+4，求得x0的取值范围【解答】解：过M作O切线交C于R，根据圆的切线性质，有OMROMN反过来，如果OMR，则O上存在一点N使得OMN=若圆O上存在点N，使OMN=，则OMR|OR|=1，ORMR，|OM|2又M（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02 +4x0+4，2x02+4x0+44，解得，2x00x0的取值范围是2，0，故答案为：2，015设点P是椭圆=1（ab0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简
20、单性质【分析】根据已知条件容易判断出P点在y轴的右侧，所以联立椭圆与圆的方程可求出P点坐标，根据椭圆的定义及条件|PF1|=3|PF2|可得到，所以根据两点间的距离公式即可得到关于a，b的方程，通过解方程可得到a，b的关系式：a=，所以可得到a，c的关系式：7a2=8c2，从而求出离心率【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；|PF1|+|PF2|=2a，由|PF1|=3|PF2|得，；，F2（c，0）；，整理得：a=2，或a=（舍去）；a2=8b2=8a28c2；7a2=8c2；故答案为：16以下四个命题中：已知圆C上一定点A和一动点B，O为坐标原点，若），则动点P的轨迹为圆；设A
21、、B为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点P的轨迹为双曲线；0，则双曲线C1： =1与C2： =1的离心率相同；已知两定点F1（1，0），F2（1，0）和一动点P，若|PF1|PF2|=a2（a0），则点P的轨迹关于原点对称其中正确命题的序号为【考点】曲线与方程【分析】由题意，CPAB，可得动点P的轨迹为以CA为直径的圆；利用双曲线的定义，即可得出结论；求出离心率，即可判断；化简整理，即可分析其正误【解答】解：由题意，CPAB，动点P的轨迹为以CA为直径的圆，正确；平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，中当0k|AB|时是双曲线的一支，
22、当k=|AB|时，表示射线，不正确；0，则双曲线C1： =1与C2： =1的离心率相同，都为，正确；设P（x，y）为曲线|PF1|PF2|=a2（a0）上任意一点，则P（x，y）关于原点（0，0）的对称点为P（x，y），可得P（x，y）也在曲线=a2（a0）上，点P的轨迹曲线=a2（a0）关于原点对称，即正确；综上所述，正确的是故答案为三、解答题：本大题共6小题，共70分17已知圆C经过点A（2，0）、B（1，），且圆心C在直线y=x上（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程【考点】直线与圆相交的性质【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；（2
23、）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为可得AB垂直平分线为x+6y=0，与xy=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），直线l的方程为y=k（x1），即y=kx+k，则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，则有，解得：k=，则直线l的方程为y=x+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意直线l的方程：x=1或y=x+18已知中心在原点的双曲线的右焦点为F（2，0），右顶点为A（1，0
24、）（1）试求双曲线的方程；（2）过左焦点作倾斜角为的弦MN，试求OMN的面积（O为坐标原点）【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程【分析】（1）求出双曲线的几何量，即可求解双曲线方程（2）求出直线方程，联立直线与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积【解答】解：（1）中心在原点的双曲线的右焦点为F（2，0），右顶点为A（1，0），方程为（2）直线MN：y=与联立，消去y可得，8x24x13=0，则|MN|=3又原点到直线MN的距离为：d=1，OMN的面积19已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且过点A（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y
25、轴上，且=2，求直线AB方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆方程（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，由此能求出直线方程【解答】解：（1）椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且过点A（1，），a=2c，b2=a2c2=3c2设椭圆方程为：，椭圆方程为：（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，x0=2，my0=32m，即x0=2，y0=3m3，代入椭圆方程得m=1，D（0，1），20已知椭圆=1（ab0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点点P（2，1）为椭
26、圆上一点，求PAB的面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为PAB的底，由点线距离公式求出PAB的高，然后用基本不等式求最值【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m24=0令=4m28m2+160，解得|m|2，由韦达定理得则由弦长公式得|AB|=又点P到直线l的距离，当且仅当m2=2，即时取得最大值PAB面
27、积的最大值为221已知椭圆C： =1（ab0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tanF1PF2=4（）求椭圆C的方程；（）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（I）由tanF1PF2=4可得cosF1PF2=设|PF1|=m，|PF2|=n，由|PF1|=7|PF2|，可得m=7n利用椭圆的定义及其余弦定理可得，解得即可得出（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入椭
28、圆方程可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由于0，可得4k2+1m2，设D，E中点为M（x0，y0），利用根与系数的关系可得：，利用kAMk=1，得，代入0解出即可【解答】解：（I）tanF1PF2=4cosF1PF2=设|PF1|=m，|PF2|=n，|PF1|=7|PF2|，m=7n联立，解得a=2，m=，n=b2=a2c2=1，故所求C的方程为（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由=64k2m24（1+4k2）（4m24）=16（m24k21）0，得4k2+1m2，又，设
29、D，E中点为M（x0，y0），kAMk=1，得，将代入得，化简得20k4+k210（4k2+1）（5k21）0，解得或存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为22已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl，求四边形F1MNF2的面积；（3）过椭圆C内一点T（t，0）作两条直线分别交椭圆C于点A，C，和B，D，设直线AC与BD的斜率分别是k1，k2，若|AT|TC|=|BT|TD|试问k1+k2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说
30、明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系和点满足椭圆方程，即可解得a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，求得m，再由点到直线的距离公式和直角梯形的面积公式计算即可得到；（3）分别设出直线AC，BD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，得到|AT|TC|和|BT|TD|，由条件即可得到k1+k2是否为定值【解答】解：（1）由题意可得e=，a2b2=c2，将点（1，）代入椭圆方程得+=1，解得a=2，b=，c=1，即有椭圆方程为+=1；（2）将直线y=x+m代入椭圆方程可得，7x2+8mx+4m212
31、=0，由直线和椭圆相切的条件可得=64m228（4m212）=0，解得m=，焦点F1（1，0），F2（1，0），由对称性可取直线y=x+，则|MF1|=，|MF2|=，|MF2|MF1|=，|MN|=，即有四边形F1MNF2的面积为S=|MN|（|MF1|+|MF2|）=；（3）设T（t，s），s=0，则直线AC的方程为y=k1（xt）+s，联立方程，得（4k12+3）x2+8k1（sk1t）x+4（sk1t）23=0设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=|AT|TC|=（1+k12）|（x1t）（x2t）|=（1+k12）|x1x2t（x1+x2）+t2|=（1+k12）|+t+t2|=（1+k12）|同理，直线BD的方程为y=k2（xt）+s，则|BT|TD|=（1+k22）|AT|TC|=|BT|TD|，（1+k12）|=（1+k22）|又T为椭圆内任意一点，且s=0，+1，即4s2+3t2120， =，k12=k22又直线AC与BD不重合，k1+k2=0为定值2016年12月3日
