1、华东师大二附中2015届暑期练习（一）数学试卷一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1函数的定义域为 . 2如果，为第三象限角，则 3设等差数列的前项之和满足，那么 4设复数，则_.5正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角等于_.6在中，的对边分别是，且是的等差中项，则角= .7若,则同时满足的正整数有 组.8如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _米 9已知圆的方程是，若以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，则该圆的
2、极坐标方程可写为 10已知数列中,，则当取得最小值时的值是 11设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点，且到面的距离分别为，则_ .12定义在上的函数同时满足性质：对任何，均有成立；对任何，当且仅当时，有.则的值为 . 13对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式: 根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为 .14定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：（1）是的一个排列；（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”给出下面三个数列：数列的前项和；数列
3、：1，2，3，4，5；数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.具有“性质”的为 ；具有“变换性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15非零向量，若向量，则的最大值为（ ）A B C D以上均不对16已知数列的通项公式为,其前项和,则双曲线的渐近线方程为（）A B C D17已知中，,，则角的取值范围是（ ）A. B. C D 18在平面斜坐标系中,点的斜坐标定义为:“若(其中分别为与斜坐标系的轴,轴同方向的单位向量),则点的坐标为”.若且动点满足,则点在斜坐标系中的轨迹方程为 （）
4、A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤19本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数 的最大值为2（1）求函数在上的值域；（2）已知外接圆半径，角A，B所对的边分别是a，b，求的值20本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设，函数的图像与函数的图像关于点对称（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围21本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别
5、修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）图1图2（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值22本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最大值；（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点
6、O.椭圆C的右顶点为D，试探究OAB的面积与ODE的面积的大小关系,并证明.23本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列，满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且 记，求证：数列为等差数列； 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件数学试卷参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1； 2； 3； 4； 5； 6； 725； 88；9； 106或7； 11； 120 ； 139； 14、二、选择题(本大题共有4题，满
7、分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15B； 16C； 17C； 18D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤19本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，的最大值为，所以2分 而，于是，4分在上递增在 递减， 所以函数在上的值域为；5分 （2）化简得 7分由正弦定理，得，9分因为ABC的外接圆半径为11分所以 12分20本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点是函数图像上任意一点，关于点对称的点为，则，于是，2分因为在函数的图像上，所以，4分即，所
8、以6分（2）令，因为，所以，所以方程可化为，8分即关于的方程有大于的相异两实数解 作，则，12分解得；所以的取值范围是14分21本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得在线段CD：上，即， 又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK， 所以；.2分. ；4分所以的取值范围是.6分 （2）由题意，得，.8分所以 则，.10分因为函数在单调递减，.12分所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. .14分22本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知，解得 ,方程为.4分 （2）当时，显然，由椭
9、圆对称性，只研究即可，设（），于是5分（当且仅当时取等号）8分（3） 设,则; 1)当直线的斜率存在时,设方程为, 由 得: ； 有 10分由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；整理得: 将式代入式得: , 12分 又点到直线的距离 所以14分 2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得: ；代入得；, 综上: 的面积是定值 又的面积也为,所以二者相等. 16分23本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当时，有又也满足上式，所以数列的通项公式是4分（2）因为对任意的，有，所以，所以，数列为等差数列8分设（其中为常数且，所以，即数列均为以7为公差的等差数列 10分设（其中为中一个常数）当时，对任意的，有； 12分当时，（）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；（）若，则对任意的有，所以数列为递增数列综上所述，集合当时，数列中必有某数重复出现无数次；当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次 18分
