1、第4讲转化与化归的思想思想方法解读转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1(1)过抛物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点，若线
2、段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2aBC4aD答案C解析抛物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)焦点F，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|QF|，所以4a.(2)在平行四边形ABCD中，|12，|8.若点M，N满足3，2，则()A20B15C36D6答案C解析解法一：由3，2知，点M是BC的一个四等分点，且BMBC，点N是DC的一个三等分点，且DNDC，所以，所以，所以36，故选C.解法二：不妨设DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系则M(12,6)，N(8,8)，所以(12,6)，(4，2)，所以1246(2)36，故选C.
3、一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案1(2019甘青宁高三3月联考)若函数f(x)1x3，则f(lg 2)f()A2B4C2D4答案A解析f(x)1x3，f(x)f(x)2，lg lg 2，f(lg 2)f2，故选A.2(2019济南市高三3月模拟)已知函数f(x)则f(3x2)f(2x)的解集为()A(，3)(1，)B(3,1)C(，1)(3，)D(1,3)答案B解析当x0时，f(x)x3x2，f
4、(x)x2x，x0，f(x)单调递增，且x0时，f(x)0，f(x)f(2x)可转化为3x22x.解得3x0)，方程ff(x)b对于任意b1,1都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A(1，)B(2，)C(3，)D(4，)答案D解析f(x)ax(x21)x(a0)，f(x)3ax2(1a)若a1，则f(x)0，f(x)单调递增，此时方程ff(x)b不可能有9个不等实根，故a1.令f(x)0，得x，不妨令x1，x2 .当a1时，a13a，1x10，0x21.f(x)a(x)(x)21(x)ax(x21)xf(x)，f(x)是奇函数，又函数f(x)过定点(1,1)，(1，1)和(0,0)，则作
5、出函数f(x)的大致图象如图所示令f(x)t，方程f(t)b对于任意b1,1都有9个不等实根，即方程f(x)t1，f(x)t2，f(x)t3，一共有9个不等实根，f(x)在极小值点处的函数值小于1，即f(1a)0，解得a4，故实数a的取值范围为(4，)故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题
6、1(2019安徽马鞍山二次质检)已知函数f(x)x(2kx)ex(x0)，若f(x)0的解集为(a，b)，且(a，b)中恰有两个整数，则实数k的取值范围为()A.BC.D答案C解析f(x)x(2kx)ex0x(kx2)exkx2，设g(x)(x0)，h(x)kx2，问题就转化为在(a，b)内，g(x)h(x)，且(a，b)中恰有两个整数先研究函数g(x)的单调性，g(x)(x0)，当x1时，g(x)0，所以函数g(x)在(1，)上单调递减；当0x0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)maxg(1).注意到g(0)0，当x0时，g(x)0.h(x)kx2，恒过(0，2)，要想在
7、(a，b)内，g(x)h(x)，且(a，b)中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：k1，故选C.2已知aln ，bln ，cln 4，则()AabcBbacCcabDbca答案B解析aln ln 2ln ，bln ，cln 42ln 2.故构造函数f(x)，则af，bf，cf(2)因为f(x)，由f(x)0，解得xe.故当x(0，e)时，f(x)0，函数f(x)在(0，e上单调递增；当x(e，)时，f(x)0，函数f(x)在e，)上单调递减因为2e，所以fff(2)，即bac，故选B.热点3 正难则反的转化例3(1)(2019湖南邵阳高三10月大联考)若命题“x0R，x2mx0m20”为假命
8、题，则m的取值范围是()A(，12，)B(，1)(2，)C1,2D(1,2)答案C解析若命题“x0R，x2mx0m2x2的区域内，则2，整理得(2k1)(6k22k1)0，解得k.因此当k时，抛物线yx2上存在两点关于直线yk(x3)对称，于是当k时，抛物线yx2上不存在两点关于直线yk(x3)对称所以实数k的取值范围为.故选D.2若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围是_答案解析若在区间1,1内不存在c满足f(c)0，因为36p20恒成立，则解得所以p3或p，取补集得3p，即满足题意的实数p的取值范围是.热点4 形体位
9、置关系的转化例4(1)(2019延安市高考模拟)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为，则四面体ABCD外接球的表面积为()A6B7C8D9答案B解析根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱BDAD，DCDA，底面BDC是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面BDC中，BDCD1，BC，BDC120，BDC的外接圆的半径为1，由题意可得，球心到底面的距离为AD，球的半径为r.故外接球的表面积为4r27，故选B.(2)(2019天津市滨海新区高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG中
10、，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为_答案4解析解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CHDG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEHABC和一个斜三棱柱BEFCHG.由题意，知V三棱柱DEHABCSDEHAD22，V三棱柱BEFCHGSBEFDE22.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG224.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半又正方体的体积V正方体ABHIDEK
11、G238，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG84.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征1. (2019东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，ABAC，BCBB12.(1)求证：AC1平面A1BD；(2)求点D到平面ABC1的距离解(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD，又D是B1C1的中点，ODAC1，OD平面A1BD，AC1平面A1BD，AC1平面A1BD
12、.(2)由已知，ABAC，取BC的中点H，则BCAH，BB1平面ABC，AH平面ABC，BB1AH，BCBB1B，AH平面BCC1B1.又ABAC，BC2，AH1，BB1C1D，SBC1DC1DBB1121，VDABC1VABC1DSBC1DAH11.AC1，BC12，ACAB2BC，ABC1是直角三角形，SABC1，设点D到平面ABC1的距离为h，则h，得h，即点D到平面ABC1的距离为.2(2019山东师范大学附属中学高三上学期二模)已知等腰梯形ABCE(图1)中，ABEC，ABBCEC4，ABC120，D是EC的中点，将ADE沿AD折起，构成四棱锥PABCD(图2)(1)求证：ADPB；(2)当平面PAD平面ABCD时，求三棱锥CPAB的体积解(1)证明：取AD的中点K，连接PK，BK，BD，PAPD，K为AD的中点，PKAD，又ADAB，DAB60，ADB为等边三角形，则ABBD，则BKAD，又PKBKK，AD平面PBK，又PB平面PBK，则ADPB.(2)由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PK平面PAD，PKAD，得PK平面ABCD，由已知ABBC4，ABC120，得SABC4，又PK2，VCPABVPABC428.
