1、第2课时 向量数量积的坐标表示基础认知自主学习【概念认知】1平面向量数量积的坐标表示条件向量a(x1，y1)，b(x2，y2)坐标表示ab_文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的_x1x2y1y2乘积的和 2.平面向量数量积的坐标表示的结论条件结论a(x，y)|a|_表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)_向量a(x1，y1)，b(x2，y2)ab_a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角cos 22+xy222121-+-x xy y|a ba bx1x2y1y20=a121222221122x x+y y=x+yx+y1已
2、知平面向量AB 1，2，AC 3，4，则向量CB 的模是()A 2 B 5 C2 2 D5【解析】选 C.因为向量AB 1，2，AC 3，4，所以 CB AB AC 1，23，42，2，所以CB2 2.2已知向量 a(1，2)，b(1，x)，若 ab，则|b|()A 52 B52 C 5 D5【解析】选 C.因为向量 a(1，2)，b(1，x)，ab，所以11x2，解得 x2，所以|b|（1）2（2）2 5.3已知向量 a(4，3)，b(6，m)，且 ab，则 m_【解析】因为向量 a(4，3)，b(6，m)，ab，所以 ab0，即463m0，m8.答案：84在平面直角坐标系 xOy 中，正方
3、形 OABC 的对角线 OB 的两端点坐标分别为 O(0，0)，B(1，1)，则AB AC _【解析】在正方形 OABC 中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB(1，0)，AC(1，1)，从而AB AC(1，0)(1，1)110(1)1.答案：15已知 a(1，2)，b(3，1)，c(4，3).求 ab，(ab)(ab),(ac)b，(ab)2.【解析】因为 a(1，2)，b(3，1)，c(4，3)，所以 ab(4，3)，ab(2，1)，ac(3，5)，所以 ab(1，2)(3，1)325，(ab)(ab)(4，3)(2，1)835，(ac)b(3，5)(
4、3，1)954，(ab)222125.学情诊断课时测评一、单选题1已知向量 a(1，k)，b(2，2)，且 ab 与 a 共线，那么 ab 的值为()A1 B2 C3 D4【解析】选 D.因为 ab 与 a 共线，所以 aba，即(12，k2)(1，k).由3，k2k，解得3，k1.故 a(1，1)，则 ab12124.2(2019全国卷)已知向量 a(2，3)，b(3，2)，则|ab|()A 2 B2 C5 2 D50【解析】选 A.由向量 a(2，3)，b(3，2)，可得 ab(1，1)，所以|ab|（1）212 2.3a，b 为平面向量，已知 a(4，3)，2ab(3，18)，则 a，b
5、 夹角的余弦值等于()A 865 B 865 C1665 D1665【解析】选 C.设 b(x，y)，则 2ab(8x，6y)(3，18)，所以8x3，6y18，解得x5，y12，故 b(5，12)，所以 cos a，b ab|a|b|1665.4已知向量 a(m，2)，b(1，1)，若|ab|a|b|，则实数 m()A2 B2 C12 D12【解析】选 A.ab(m1，3)，|ab|m22m10，则m22m10 m24 2，两式平方得到 m2 2 4m2，再平方得到 m24m40.解得 m2.5已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为
6、()A3 22B3 152C3 22D3 152【解析】选 A.AB(2，1)，CD(5，5)，由定义知AB 在CD 方向上的投影为|AB|cos AB CD|CD|155 2 3 22.二、填空题6在平行四边形 ABCD 中，AC(1，2)，BD(3，2)，则AD AC _【解析】设 AC，BD 相交于点 O，则AD AO OD 12 AC 12 BD 12，132，1(1，2).又AC(1，2)，所以AD AC(1，2)(1，2)143.答案：37已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影数量为_；a 在 b 方向上的投影数量为_【解析】b 在
7、 a 方向上的投影数量为|b|cos 4cos 1202.同理，a 在 b 方向上的投影数量为|a|cos 52.答案：2 528在圆 O 中，长度为 2 的弦 AB 不经过圆心，则AO AB 的值为_【解析】设向量AO，AB 的夹角为，则AO AB|AO|AB|cos|AO|cos|AB|12|AB|AB|12(2)21.答案：19若 a(2，3)，b(1，2)，c(2，1)，则(ab)c_；a(bc)_【解析】因为 ab2(1)3(2)8，所以(ab)c8(2，1)(16，8).因为 bc(1)2(2)14，所以 a(bc)(2，3)(4)(8，12).答案：(16，8)(8，12)三、解
8、答题10在平面直角坐标系中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：(1)2AB AC 的模；(2)cos BAC.【解析】(1)如图，AB(1，1)，AC(1，5)，故 2AB AC(2，2)(1，5)(1，7)，故|2AB AC|（1）272 5 2；(2)cos BAC AB AC|AB|AC|（1，1）（1，5）11 15215 2 262 1313.11已知向量 a(3，5)，b(2，1).(1)求 a2b 的坐标及模；(2)若 ca(ab)b，求|c|.【解析】(1)a2b(3，5)2(2，1)(7，3)，|a2b|7232 58.(2)ab(3，5)(2，1)3(2)
9、511，所以 ca(ab)b(3，5)(2，1)(1，6)，所以|c|162 37.一、选择题1(2020新高考全国卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是()A(2，6)B(6，2)C(2，4)D(4，6)【解析】选 A.设 P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，AP(x，y)，AB(2，0)，所以AP AB 2x，由题意可得点 C 的横坐标为 3，点 F 的横坐标为1，所以1x3，所以2AP AB 6.2已知 A(2，1)，B(6，3)，C(0，5)，则 ABC 的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C
10、钝角三角形 D等边三角形【解析】选 A.由题设知AB(8，4)，AC(2，4)，BC(6，8)，所以AB AC28(4)40，即AB AC.所以BAC90，故 ABC 是直角三角形3设向量 a(3，4)，向量 b 与向量 a 方向相反，且|b|10，则向量 b 的坐标为()A(6，8)B(6，8)C(6，8)D(8，6)【解析】选 A.向量 a(3，4)，向量 b 与向量 a 方向相反，设 b(3x，4x)，x0，则|b|9x216x2 5x10，解得 x2，所以向量 b 的坐标为(6，8).4(多选)设向量 ak，2，b1，1，则下列叙述错误的是()A若 k2，则 a 与 b 的夹角为钝角B
11、|a 的最小值为 2C与 b 共线的单位向量只有一个为22，22D若|a 2|b，则 k2 2 或2 2【解析】选 CD.对于选项 A，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 ab0 且 a 与 b 不共线，则 k20 且k2，解得 k2 且 k2，故选项 A 正确，不符合题意；对于选项 B，|a k24 2，当且仅当 k0 时，等号成立，故选项 B 正确，不符合题意；对于选项 C，|b 2，与 b 共线的单位向量为 b|b，即与 b 共线的单位向量为22，22或 22，22，故选项 C 错误，符合题意；对于选项 D，|a 2|b 2 2，即k24 2 2，解得 k2，故选项 D 错误，符合题意二、
12、填空题5设平面向量 a(cos，sin)(02)，b12，32，若两个向量 3 ab 与 a 3 b 的模相等，则角 _【解析】|a|1，|b|1，由题意知(3 ab)2(a 3 b)2，化简得 ab0，所以12 cos 32sin 0，所以 tan 33.又 02，所以 6 或 76.答案：6 或766已知点 A(2，3)，若把向量OA 绕原点 O 按逆时针旋转 90得到向量OB，则点 B的坐标为_【解析】设 B(x，y)(x0)，则OA OB，且|OB|OA|.所以2x3y0，x2y22232，解得x3，y2.所以 B(3，2).答案：(3，2)7已知向量 a(，2)，b(1，1)，若ab
13、ab，则 的值为_；此时 ab_【解析】结合条件可知，ab2ab2，得到 ab0，代入坐标，得到 120，解得 2.答案：2 0三、解答题8已知 a(1，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求实数 的取值范围【解析】因为 a(1，1)，b(，1)，所以|a|2，|b|12，ab1.因为 a，b 的夹角 为钝角，所以10，2121，即1，2210，所以 1 且 1.所以 的取值范围是(，1)(1，1).9已知在 ABC 中，A(2，4)，B(1，2)，C(4，3)，BC 边上的高为 AD.(1)求证：ABAC；(2)求向量AD；(3)求证：AD2BDCD.【解析】(1)因为AB(1，2)(2，4)(3，6)，AC(4，3)(2，4)(2，1)，AB AC 32(6)(1)0，所以 ABAC.(2)BC(4，3)(1，2)(5，5).设BD BC(5，5)，则AD AB BD(3，6)(55)(53，56)，由 ADBC 得 5(53)5(56)0，解得 910，所以AD 32，32.(3)|AD|294 94 92，|BD|502 9 22，|BC|5 2，|CD|BC|BD|22.所以|AD|2|BD|CD|，即 AD2BDCD.
