1、23.2平面向量的正交分解及坐标表示23.3平面向量的坐标运算内容标准学科素养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.应用直观想象提升数学运算授课提示：对应学生用书第57页基础认识知识点一平面向量的正交分解阅读教材P9497，思考并完成以下问题力可以在不同方向上进行分解，那么向量是否可以分解为不共线的两个向量的和？(1)如果向量a与b的夹角是90，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？提示：可作为基底(2)在平面直角坐标系中，取x轴同
2、向的单位向量i，取y轴同向的单位向量j作为基底，坐标平面上的任一向量a可用(i，j)唯一表示吗？提示：a可以写为1i2j且唯一知识梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解知识点二平面向量的坐标表示思考并完成以下问题在平面直角坐标系中，每个点都有唯一一对坐标表示，那么平面直角坐标系中的向量可用坐标表示吗？(1)如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，那么向量用x轴，y轴上的单位向量i，j如何表示？提示：3i2j.(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，平面内的向量a用i，j如何表示？提示：axiyj.知识梳理(1)平面向量的坐标在平面直
3、角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)在直角坐标平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0)知识点三平面向量的坐标运算思考并完成以下问题已知a(x1，y2)，b(x2，y2)，能得出ab，ab，a的坐标吗？设a(3，0)，b(1，2)，用几何法求ab，ab.提示：以，为邻边作平行四边形OACB，作CDx轴于D点可知|AD|1，C(4，2)，(4，2)，即ab(3，0)(1，2)
4、(4，2)延长BO至B，使|BO|OB|，B(1，2)，以，为邻边作平行四边形OACB，则C(2，2)，ab(2，2)，即ab(3，0)(1，2)(2，2)知识梳理设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)自
5、我检测1已知a(1，1)，b(1，1)，则ab等于()A(1，2)B(1，2)C(1，2) D(1，2)答案：A2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C(8，1) D(8，1)答案：A授课提示：对应学生用书第58页探究一平面向量的坐标表示教材P96例3方法步骤：由点的坐标表示向量的坐标例1如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60.(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标解析(1)利用三角函数的定义，得sin 60，cos 60，y|sin 6046，x|cos 6042，A(2，6)，(2，6)(2)(2，6)(，1)(，7)方法技巧求点和向量坐
6、标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标跟踪探究1在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标解析：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452.a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)探究二平面向量的坐标运算教材P97
7、例4方法步骤：将向量用坐标表示，按向量坐标法则进行运算例2(1)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，2；(2)已知a(1，2)，b(3，4)，求向量ab，ab，3a4b的坐标解析(1)A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，(7，5)(4，6)(3，1)(1，8)(4，6)(3，2)(3，1)(3，2)(0，1)(3，1)(3，2)(6，3)22(3，1)(3，2).(2)ab(1，2)(3，4)(2，6)ab(1，2)(3，4)(4，2)3a4b3(1，2)4(3，4)(15，10)方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向
8、量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行跟踪探究2.已知a(1，2)，b(2，1)，求下列向量的坐标：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.解析：(1)2a3b(2，4)(6，3)(4，7)(2)a3b(1，2)(6，3)(7，1)(3)ab.探究三平面向量坐标运算的应用教材P97例5方法步骤：点的坐标向量的坐标D的坐标角度1由相等的向量求参数的值例3已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)若(R)，试求为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内解析
9、设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)，(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，1)(5，7)(35，17)，且与不共线，则(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5547，.(2)若点P在第三象限内，则1.角度2向量运算与平面几何的综合应用例4如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O(0，0)，则AC与OB的交点P的坐标为_解析法一：由题意知P，B，O三点共线，又(4，4)，故可设t(4t，4t)，(4t，4t)(4，0)(4t4，4t)，(2，6)(4，0)(2，6)又A，C，P三点共线，6(4t4)8t0，解得t，(3，3)，即点P的坐标为
10、(3，3)法二：设点P(x，y)，则(x，y)，易知(4，4)，P，B，O三点共线，4x4y0.P，A，C三点共线，易求得(x，y)(4，0)(x4，y)，(2，6)(4，0)(2，6)，6(x4)2y0，由得点P的坐标为(3，3)答案(3，3)方法技巧(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，这是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪探究3.已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标
11、解析：法一：由A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，得(2，4)(3，4)(1，8)，(3，1)(3，4)(6，3)，所以33(1，8)(3，24)，22(6，3)(12，6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3，24)，x10，y120；(x23，y24)(12，6)，x29，y22，所以M(0，20)，N(9，2)，(9，2)(0，20)(9，18)法二：设点O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，从而32，2，所以3(2，4)2(3，4)(0，20)，2(3，1)(3，4)(9，2)，即点M(0，20)，N(9，2)，故(9，2)(0，20)(9，18
12、)授课提示：对应学生用书第59页课后小结1向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据，向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化2在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示3向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同素养培优1混淆向量坐标与点的坐标典例在ABCD中，已知(3，7)，(2，3)，对角线AC，BD相交于O点，则的坐标是()A.B.C. D.易错分析(3，7)错认为D(3，7)，(2，3)错认为B(2，3)自
13、我纠正解析()(2，3)(3，7)，故选B.答案B2建系不明，求错点的坐标典例向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，是_易错分析此题易错在乱设a，b，c的坐标而不建系解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)由cab可得解得所以4.答案43向量坐标运算公式用错典例已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3，2) D(1，3)易错分析求，的坐标时，公式用错自我纠正解析设D(x，y)，(4，3)，(x，y2)，(4，3)(2x，2(y2)，即答案A
