1、第二章 圆锥曲线与方程21 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程目标 1.掌握求曲线方程的方法步骤.2.了解解析法的思想，体验用坐标法研究几何问题的方法与过程.3.培养数形结合的能力重点 利用求曲线方程的一般步骤求曲线方程难点 求曲线方程中的“建系”、“设点”、“化简方程”及“检查曲线的完备性”是本课时的难点课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 坐标法与解析几何填一填1坐标法与解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的或，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的表示曲线，通过研究的性质间接地来研究曲线的性质，这就是数学中，用研究几何图形的知识形成的学科叫做解
2、析几何集合轨迹方程 f(x，y)0方程坐标法坐标法2平面解析几何研究的主要问题是：(1)；(2)根据已知条件，求出表示曲线的方程通过曲线的方程，研究曲线的性质答一答1为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？提示：只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题知识点二 求曲线方程的一般步骤填一填答一答2.如何建立恰当的坐标系？提示：建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同3为什么第五步可
3、以省略？提示：一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，所以通常情况下证明可以省略，不过特殊情况要进行说明4“轨迹”与“轨迹方程”是一回事儿吗？提示：(1)动点的轨迹方程实质上是轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程 f(x，y)0，有时根据需要要在方程后指明变量的取值范围(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等1步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理如定点作为原点，互
4、相垂直的直线作为坐标轴等合理地建立坐标系，能使运算更方便；2步骤(2)中可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并；3步骤(5)中没有特殊情况可以省略不写如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除类型一 直接法求曲线方程【例 1】如图已知 F(1,0)，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FPFQ，求动点 P 的轨迹方程【分析】本题可设出 P(x，y)，则 Q(1，y)然后由QP QFFPFQ 得出 P(x，y)满足的关系式，整理后即可得 P 的轨迹方程【解】设点 P(x，y)，则 Q(1，y)，QP(x1
5、,0)，QF(2，y)，FP(x1，y)，FQ(2，y)，由QP QF FPFQ，(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，2x22x2y2，即动点 P 的轨迹方程为 y24x.求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明五步法.在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明.一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去.)已知定点 A(1,0)，B(1,0)，动点 P 满足直线 PA，PB 的斜率之积为1，则动点 P 满足的方程是()Ax2y21Bx2y21(x1)Cx2y21(x0)Dy 1x2(x1)B解析：设动点 P 的坐标为
6、(x，y)，则 kPA yx1(x1)，kPB yx1(x1)kPAkPB1，yx1 yx11，整理得 x2y21(x1)类型二 定义法求轨迹方程【例 2】已知圆 C：x2(y3)29，过原点作圆 C 的弦OP，求 OP 中点 Q 的轨迹方程【分析】关键是寻找 Q 点满足的几何条件可以考虑圆的几何性质，如 CQOP，还可考虑 Q 是 OP 的中点【解】解法一：(直接法)如下图，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC90.设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即 x2y2x2(y3)29，所以 x2(y32)294(去掉原点)解法二：(定义法)如下图所示，因为 Q 是 OP
7、 的中点，所以OQC90，则Q 在以 OC 为直径的圆上，故 Q 点的轨迹方程为 x2(y32)294(去掉原点)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义写出轨迹方程另外也要注意以下三点：(1)要熟悉各种常见的曲线的定义(2)要善于利用数形结合的方法，利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程定长为 6 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程解：设 M(x，y)，O 为坐标原点，由直角三角形的性质知|OM|12|AB|，M 到 O 的距离是 3，故其轨迹方程为 x2y29.类型三
8、 代入法求轨迹方程【例 3】已知ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A(0,0)、B(6,0)，顶点 C 在曲线 yx23 上运动，求ABC 重心的轨迹方程【分析】由重心坐标公式，可知ABC 的重心坐标可以由 A、B、C 三点的坐标表示出来，而 A、B 是定点，且 C 在曲线 yx23 上运动，故重心与 C 相关联因此，设出重心与 C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程 yx23 即可【解】设 G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点 C 的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得x06x3，y00y3，x3x6，y3y.顶点 C(x，y)在曲线 yx23 上，3y(3x6)23，整理，得
9、y3(x2)21.故所求轨迹方程为 y3(x2)21.1本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中.本题解法称为代入法或相关点法，此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题.2应注意的是，本例中曲线 yx23 上没有与 A、B 共线的点，因此，整理方程 3y3x623 就得到轨迹方程；若曲线方程为 yx23，则应去掉与 A、B 共线时所对应的重心坐标.已知圆 C：(x1)2y21 与定点 P(0,2)，动点 M 在圆 C 上移动，Q 是 PM 上的点且满足MQ 2QP，求 Q 点的轨迹方程并说明 Q 点的轨迹解：设 Q(x，y)，M(x0，y0)，则由题意可得(xx0，yy0)2(
10、x,2y)，xx02xyy042y，即x03xy03y4，M(x0，y0)是圆上的动点，故(x01)2y201，将式代入式可得(3x1)2(3y4)21，即(x13)2(y43)219.故所求动点 Q 的轨迹方程为(x13)2(y43)219，其轨迹是以(13，43)为圆心，以13为半径的圆类型四 素养提升应用平面几何性质求轨迹方程【例 4】已知点 Q(2,0)和圆 O：x2y21，动点 M 到圆 O的切线长等于圆 O 的半径与|MQ|的和，求动点 M 的轨迹方程【规范解答】如图，过 M 作圆的切线 MN，N 为切点，设M(x，y)由题意知|MN|MQ|ON|.由于|MN|OM|2|ON|2
11、x2y21，|MQ|x22y2，|ON|1，x2y21 x22y21.两边平方整理得 2x3 x22y2，再两边平方整理得 3x2y28x50.即：9(x43)23y21.2x3 x22y2中 2x30，x32.点 M 的轨迹方程为 9(x43)23y21(x32)【解后反思】1.在解决平面几何问题时，要注意数形结合思想的使用，如本例中切线长的表示2在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘，确保变形的每步都为恒等变形，如本例中的限制条件 x32.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若 l1 交 x 轴于 A点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程
12、解：设 O 为坐标原点，l1l2，OAOB，O，A，P，B 四点共圆，且该圆的圆心为 M.|MP|MO|.点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线kOP40202，OP 的中点坐标为(1,2)，点 M 的轨迹方程是 y212(x1)，即 x2y50.1动点 P 到点(1，2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程为()A(x1)2(y2)29B(x1)2(y2)29C(x1)2(y2)23D(x1)2(y2)23解析：由题意知，点 P 的轨迹满足圆的定义，圆心为(1，2)，半径为 3，所以 P 点轨迹方程为(x1)2(y2)29.B2已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|
13、2|PB|，则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于()A B4 C8 D9解 析：设 P(x，y)，由|PA|2|PB|，得x22y2 2 x12y2，整理得 x24xy20，即(x2)2y24.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆，则其面积是 224.B3到 A(2，3)和 B(4，1)的距离相等的点的轨迹方程是.解析：动点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线xy104设 A 为圆(x1)2y21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|1，则动点 P 的轨迹方程是.解析：设圆(x1)2y21 的圆心为 B(1,0)，又半径 r1，则|PB|2|PA|2r2.|PB|22.P 的轨迹方程为：(x1)2y22.(x1)2y225已知线段 AB 在直线 y2 上移动，|AB|4，O 为坐标原点求AOB 的外心 M 的轨迹方程解：A，B 在直线 y2 上，且|AB|4，故设 A(x1，2)，B(x14，2)，直线 OA 的垂直平分线为 yx12 xx12 1，直线 AB 的垂直平分线为 xx12.联立yx12 xx12 1，xx12，消去 x1，得 x24(y2)故 M 的轨迹方程为 x24(y2)温示提馨请 做：课时作业 10PPT文稿（点击进入）
