1、综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x|12x4,B=x|y=ln(x-1),则AB=()A.x|1x2B.x|1x2C.x|0x2D.x|0x22.函数f(x)=2-x+lgx的定义域是()A.x|0x2B.x|0x1C.x|-1x2D.x|10时,f(x)=2x,x1,-lnx,0x1,则f(-2)f(1e)=()A.4B.-4C.14D.-144.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为()A.0,18B.18,14C.14,12D.12,15.三个数12e
2、,e12,ln12的大小关系为()A.ln1212ee12B.12eln12e12C.ln12e1212eD.12ee121,则满足f(1-t)0,若关于x的方程f(x)-af(x)2-1=0恰有四个不同的实数解,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(-,0)(1,+)C.(-,0(1,+)D.(-,-1)(-1,0(1,+)12.已知f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,并且满足f(f(x)-ex-2lnx)=e+1,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.1e3,1e2B.1e2,1eC.1e,1D.(1,e)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
3、13.已知f(x)=x23,g(x)=x-2,则不等式f(x)g(x)的解集为.14.函数f(x)=2x+m,x1,-x-2m,x1(m为常数),若f(1+m)=f(1-m),则m的值为.15.已知方程3x+x-6=0,log3x+x-6=0的解分别为x1,x2,则x1+x2=.16.已知函数f(x)=|x-1|,0x2,12x-1,2x3,若存在实数x1,x2,x3,当0x1x24,B=xR|log2(x-1)0.(1)求集合A,B;(2)已知集合C=x|mxm+1,若集合C(AB),求实数m的取值范围.18.(本小题满分12分)计算:(1)(0.25)12-23702(-2)343+(2-
4、1)-1-212;(2)log2.56.25+lg0.001+2lne-21+log23.19.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log2(x+2),g(x)=a4x-2x+1-a+1.(1)判断函数h(x)=f(x)+f(x-6)的单调性,并说明理由;(2)若对任意的x1,x21,2,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)某旅游公司为入境游的外国游客提供移
5、动WIFI租赁服务,每台设备押金800元,最多租借30天,丢失或逾期未还,押金不退.收费标准如下:租借10天以内(含10天),按每台每天40元收费(不足一天按一天收费);租借10天以上的部分采取优惠政策,每多租借1天,这部分的平均日租费用减少2元,如:租借一台设备12天,则前10天按每天40元收费,后2天的平均日租费用为40-(12-10)2=36元,所以后2天按每天36元收费.(1)若某客户租借一台设备x天(1x30,xN),写出应收费用y(元)关于x(天)的函数关系式;(2)客户租借一台设备多少天时,该公司所获租借费用最高?最高为多少元?22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex+a
6、e-x,xR.(1)当a=1时,证明:f(x)为偶函数;(2)若f(x)在0,+)上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若a=1,求使mf(2x)+2f(x)+1恒成立的m的取值范围.答案全解全析全书综合测评1.B2.A3.B4.C5.A6.C7.C8.A9.D10.A11.D12.B一、选择题1.BA=x|12x4=x|01,所以AB=x|10,解得x2,x0,即0x2,所以函数f(x)的定义域为(0,2,故选A.3.B结合奇函数的概念,可知f(-2)=-f(2)=-22=-4,f1e=-ln1e=1,所以f(-2)f1e=-4,故选B.4.Cf18=8+log218=8-30,f14=4+
7、log214=4-20,f(1)=+log21=0,f14f120,故选C.5.A由y=12x是减函数知,012ee0=1;由y=lnx是增函数知,ln12ln1=0.因此ln1212e0,解得a-4.由知,-41,可得x1时,y=x-1单调递增;x1时,y=lnx单调递增,且x=1处f(x)的图象连续,所以f(x)在R上为增函数,由f(1-t)f(1+t),得1-t0,即t的范围是(0,+).故选C.8.A内层函数u=x2-|x|+1=|x|-122+34,所以,当|x|=12,即x=12时,内层函数u=x2-|x|+1取得最小值,此时,函数y=f(x)取得最小值.由题意可知-12(t,t+
8、1)或12(t,t+1),所以t-12t+1或t12t+1,解得-32t-12或-12t12.因此,实数t的取值范围是-32,-12-12,12.故选A.9.答案D信息提取声强m与标准声调m0的关系L=lgmm0;“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y=2x;A同学激起的涌泉最高高度为70米;A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强.数学建模以“喊泉”为情境,应用声强m与标准声调m0构建的等量关系,结合“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y=2x,根据对数运算求值.解析设B同学的声强为m,喷出泉水高度为x米,则A同学的声
9、强为100m,喷出泉水高度为70米,根据题意,得10lgmm0=2x,整理得lgm-lgm0=0.2x,10lg100mm0=270,整理得2+lgm-lgm0=14,-,得2=14-0.2x,解得x=60.故选D.10.Af(x)的定义域为xR且x0,f(-x)=(3-x2)ln|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,又当0x0,ln|x|=lnx0,所以f(x)0的图象,如图,由图可知y=1与y=f(x)的图象有两个交点;y=-1与y=f(x)的图象有一个交点,所以方程f(x)=1与f(x)=-1分别有两个根与一个根,要使方程f(x)-af(x)2-1=0恰有四个不同的实数解,只需f(x)
10、=a有一个不同于以上三个根的解,即y=a与y=f(x)的图象有一个交点,由图可知,当a0且a-1或a1时符合题意,综上,实数a的取值范围为(-,-1)(-1,0(1,+),故选D.12.B设f(x)-ex-2lnx=c,则f(x)=ex+2lnx+c,且f(c)=e+1.由f(x)=ex+2lnx+c在(0,+)上单调递增,且f(1)=e+c,得c=1,因此,f(x)=ex+2lnx+1.所以f1e2=e1e2+2ln1e2+1=e1e2-3e-3e0-1=0,所以f1e2f1e0,所以函数f(x)的零点所在的区间为1e2,1e,故选B.二、填空题13.答案(-1,0)(0,1)解析因为f(x
11、)=x23,g(x)=x-2,所以不等式f(x)g(x)即x23x-2,即x831(x0),因为y=x83为偶函数,且在(0,+)上单调递增,所以x831的解集为(-1,0)(0,1).14.答案0或-34解析f(x)=2x+m,x0,则1+m1,1-m1,由f(1+m)=f(1-m),得-1-3m=2-m,解得m=-32(舍);若m=0,则f(1+m)=f(1-m)可化为f(1)=f(1),显然成立;若m0,则1+m1,由f(1+m)=f(1-m),得2+3m=-1-m,解得m=-34,满足m0.综上,m=0或m=-34.15.答案6解析由3x+x-6=0,得3x=6-x,由log3x+x-
12、6=0,得log3x=6-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=3x,y=log3x,y=6-x,y=x的图象,如图所示.由图象知A、B关于C点对称,易知C点坐标为(3,3),所以x1+x2=6.16.答案58,32解析根据题意作出函数f(x)的图象,如图所示.由图知x1+x2=2,1-x1=x2-1=12x3-1,得x2=12x3-1+1,令y=(x1+x2)x2f(x3)=212x3-1+112x3-1,令t=12x3-1,由x3(2,3,得t14,12,则y=2(t+1)t=2t2+2t=2t+122-12,所以58y4,即12x12-2,得x-2,所以A=x|x0,得x-11,即x2,
13、所以B=x|x2.(4分)(2)由(1)可知,AB=x|x2,(6分)因为C(AB),所以m+1-2或m2,得m-3或m2.(9分)所以m的取值范围是m|m-3或m2.(10分)18.解析(1)原式=12122-(-2)2(-2)343+(2+1)-212=12-64+2+1-2=-1252.(6分)(2)log2.56.25+lg0.001+2lne-21+log23=log2.56.25+lg0.001+lne-22log23=2+lg10-3+1-6=2-3+1-6=-6.(12分)19.解析(1)由f(x)为幂函数,知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2,(2
14、分)当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.(5分)故f(x)=x2.(6分)(2)由(1)得y=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1,函数f(x)图象的对称轴为直线x=a-1,(8分)函数f(x)在(2,3)上为单调函数,a-12或a-13,解得a3或a4.(11分)故实数a的取值范围为a|a3或a4.(12分)20.解析(1)由题意得h(x)=log2(x+2)+log2(x-4),定义域为(4,+),整理,得h(x)=log2(x2-2x-8),x4.(2分)因为y=x2-2x-8在(4,+)上单调递增,y=
15、log2x在(0,+)上单调递增,所以h(x)在(4,+)上单调递增.(4分)(2)因为f(x)=log2(x+2),所以f(x)在1,2上的最大值为f(2)=log24=2,对任意的x1,x21,2,f(x1)g(x2)恒成立等价于f(x)max=22,所以at2-2t-a-10在t2,4上恒成立,(6分)当a=0时,t-12,不满足题意.(7分)当a0,a42-8-a-10,解得a53,舍去.(8分)当a0时,图象的对称轴为直线x=1a,当a0,1a12时,a22-4-a-10,解得a53;(9分)当a0,21a4,即14a12时,a1a2-2a-a-10,无解;(10分)当a0,1a4,
16、即0a0,解得a35,舍去.(11分)综上所述,a的取值范围是53,+.(12分)21.解析(1)依题意,得y=40x,1x10,xN,400+(60-2x)(x-10),10x30,xN,(3分)即y=40x,1x10,xN,-2x2+80x-200,10x30,xN.(5分)(2)当1x10,xN时,40y400;(7分)当10x30,xN时,y=-2x2+80x-200=-2(x-20)2+600,(9分)所以当x=20时,ymax=600,(11分)所以当客户租借一台设备20天时,该公司所获租借费用最高,最高为600元.(12分)22.解析(1)证明:当a=1时,f(x)=ex+e-x
17、,定义域为(-,+),关于原点对称,又f(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)为偶函数.(3分)(2)在0,+)上任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=ex1+ae-x1-(ex2+ae-x2)=(ex1-ex2)(ex1+x2-a)ex1+x2.(4分)因为x1x2,函数y=ex为增函数,所以ex1ex2,即ex1-ex20.(5分)由f(x)在0,+)上单调递增,得f(x1)f(x2),即f(x1)-f(x2)0,所以ex1+x2-a0恒成立,即aex1+x2对任意的0x1x2恒成立,所以a1.(7分)(3)由(1)(2)知当a=1时,f(x)为偶函数,且函数f(x)在(-,0上单调递减,在(0,+)上单调递增,f(x)的最小值为f(0)=2,且f(2x)=e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2.(8分)设t=ex+e-x,则t2,+),1t0,12,于是不等式mf(2x)+2f(x)+1恒成立等价于mt2t+1恒成立,即mt+1t2恒成立.(10分)而y=t+1t2=1t2+1t=1t+122-14,当1t=12,即t=2时取得最大值34,所以m34.(12分)
