1、课后限时集训(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质建议用时:40分钟一、选择题1已知直线l平面,直线m平面,若,则下列结论正确的是()Al或l BlmCm DlmA直线l平面,则l或l,A正确,故选A2已知直线m,n和平面,则下列四个命题中正确的是()A若,m,则mB若m,n,则mnC若m,nm,则nD若m,m,则B对于A,若,m,则当m与,的交线垂直时才有m,故A错;对于B,若n,则内存在直线a,使得an,m,ma,mn,故B正确;对于C,当n时,显然结论错误,故C错;对于D,若l,则当ml时,结论不成立,故D错故选B3.如图,在四面体DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中点,则下列
2、结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDEC因为ABCB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.4(2020南宁模拟)在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PAAB2,则直线PB与平面PAC所成角为()A B C DA连接BD,交AC于点O.因为PA平面ABCD,底面ABCD是正方形,所以BDAC,BDPA又因为PAACA,所以BD平
3、面PAC,故BO平面PAC连接OP,则BPO即为直线PB与平面PAC所成角又因为PAAB2,所以PB2,BO.所以sinBPO,所以BPO.故选A5(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如图,A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直,选项B,D错误;A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1CBC1,A1EBC1,故选项C正确;(证明:由条件易知,BC1B1C,BC1CE,又CEB1CC,BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,A1EBC1.)A1E在平面DCC
4、1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,故选项A错误故选C6如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90.将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,BDCD又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,故CD平面ABD,则CDAB又ADAB,ADCDD,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB平面ADC又AB平面ABC,平面ADC平面ABC
5、二、填空题7.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,若该长方体的体积为8,则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为 30连接BC1(图略),由AB平面BB1C1C知AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角由22AA18得AA12,BC12,在RtAC1B中,tanAC1B,AC1B30.8.四面体PABC中,PAPBPC,底面ABC为等腰直角三角形,ACBC,O为AB中点,请从以下平面中选出两个相互垂直的平面 (只填序号)平面PAB;平面ABC;平面PAC;平面PBC;平面POC(答案不唯一)四面体PABC中,PAPBPC,底面ABC为等腰直角三角形,ACBC,O为AB
6、中点, COAB,POAB,COPOO,AB平面POCAB平面ABC, 平面POC平面ABC,两个相互垂直的平面为.9在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2,则点A1到平面AB1D1的距离是 如图,AB1D1中,AB1AD1,B1D1,AB1D1的边B1D1上的高为,S,设A1到平面AB1D1的距离为h;则有SAB1D1hSA1B1D1AA1,即h2,解得h.三、解答题10.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点证明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,CD
7、平面ABCD,PACD又ACCD,PAACA,PA,AC平面PAC,CD平面PAC而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPAE是PC的中点,AEPC由(1)知AECD,且PCCDC,PC,CD平面PCD,AE平面PCD,而PD平面PCD,AEPDPA底面ABCD,AB平面ABCD,PAAB又ABAD,且PAADA,AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD又ABAEA,AB,AE平面ABE,PD平面ABE.11(2020茂名一模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,点D是AB的中点,BCAC,AB2DC2,AA1.(1)求证:平面A1DC平面A
8、BB1A1;(2)求点A到平面A1DC的距离解(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,点D是AB的中点,BCAC,CD平面ABC,CDAB,CDAA1,ABAA1A,CD平面ABB1A1,CD平面A1DC,平面A1DC平面ABB1A1.(2)点D是AB的中点,BCAC,AB2DC2,AA1.设点A到平面A1DC的距离为d,VV,SACDAA1Sd,1112d,解得d,点A到平面A1DC的距离为.1(2020武汉模拟)如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC的内部A连接
9、AC1(图略),因为ACAB,ACBC1,ABBC1B,所以AC平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC1平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A2已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为,PA与圆锥底面所成角为60,若PAB的面积为,则该圆锥的体积为 作示意图如图所示,设底面半径为r,PA与圆锥底面所成角为60,则PAO60,则POr,PAPB2r,又PA,PB所成角的余弦值为,则sinAPB,则SPABPAPBsinAPB2r2r,解得r,故圆锥的体积为2.3(2020郑州模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD是菱形,点E在线
10、段PC上,PA平面EBD(1)证明:点E为线段PC中点;(2)已知PA平面ABCD,ABC60,点P到平面EBD的距离为1,四棱锥PABCD的体积为2,求PA解(1)证明:连接AC,与BD相交于点O,连接EO,则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO.因为PA平面EBD,所以PAEO.因为四边形ABCD是菱形,所以O为AC的中点,所以EO是PAC中位线,于是E为线段PC中点(2)因为PA平面EBD,所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1.因为PA平面ABCD,所以EO平面ABCD,所以平面EBD平面ABCD,平面EBD平面ABCDBD因为AOBD,所以AO面EBD,因此
11、AO1.因为ABC60,所以四边形ABCD是边长为2的菱形,面积为22sin 602,所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD2PA,由2PA2,得PA3.1(2019全国卷)已知ACB90,P为平面ABC外一点,PC2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为 如图,过点P作PO平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E,OFBC于F,连接PC,PE,PF,则PEAC,PFBC又PEPF,所以OEOF,所以CO为ACB的平分线,即ACO45.在RtPEC中,PC2,PE,所以CE1,所以OE1,所以PO.2(2020浙江省诸暨中学月考)九章算术中
12、,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图,在阳马PABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PDCD,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值解(1)证明:因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCDD,所以BC平面PCD而DE平面PCD,所以BCDE.又因为PDCD,点E是PC的中点,所以DEPC而
13、PCBCC,所以DE平面PBC而PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEFE,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB(2)如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD 的交线由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG.又因为PD底面ABCD,所以PDDG.而PDPBP,所以DG平面PBD故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角, 设PDDC1,BC,有BD,在RtPDB中,由DFPB, 得DPFFDB, 则tan tanDPF,解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,.