1、第2课时解题上5大技法破解“计算繁而杂”这一难题中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面因此，本讲从以下5个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思
2、维的生长点对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果典例如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.B.C. D.解题观摩由已知，得F1(，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a22，故a.所以双曲线C2的离心率e.答案D题后悟通本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量
3、针对训练1.如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.解析：选A由题可得，故选A.2抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则的最小值为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，则2(当且仅当xPm时取等号)，所以，所以的最小值为.答案：设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应
4、用设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求典例已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解题观摩设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，得0，所以kAB.又kAB，所以.又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为1.答案D题后悟通(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系
5、，从而快速解决问题(2)在运用圆锥曲线问题中设而不求的方法技巧时，需要做到：凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多针对训练1已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A设OE的中点为G，由题意设直线l的方程为yk(xa)，分别令xc与x0得|FM|k(ac)，|OE|ka，由OBGFBM，得，即，整理得，所以椭圆C的离心率e，故
6、选A.2过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.即椭圆C的离心率e.答案：巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件
7、典例设椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|.解题观摩法一：依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)联立消去y0并整理，得x.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.法二：依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，得1.因为ab0，kx00，所以1，即(1k2)
8、xa2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)a2，解得k23，所以|k|.法三：设P(acos ，bsin )(02)，则线段OP的中点Q的坐标为.|AP|OA|AQOPkAQk1.又A(a,0)，所以kAQ，即bsin akAQcos 2akAQ.从而可得|2akAQ| a，解得|kAQ|，故|k|.题后悟通求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量针对训练设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆C：(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求
9、r的取值范围解：不妨设直线l的方程为xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y24x并整理得y24ty4m0，则有16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，可得线段AB的中点M(2t2m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即kMCkAB1，可得1，整理得m32t2(当t0时)，把m32t2代入16t216m0，可得3t20，即0t23，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d2r，而由0t23可得2r4.妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与
10、代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果典例如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解题观摩把y代入椭圆1，可得xa，那么B，C，而F(c,0)，那么，又BFC90，故有c2a2b2c2a2(a2c2)c2a20，则有3c22a2，所以该椭圆的离心率为e.答案题后悟通本题通过相关向量坐标的确定，结合BFC90，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算针对训练已知椭圆C的标准方程
11、为1，圆O的方程为x2y22，设P，Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x轴平行，直线AP，BP与y轴的交点记为M，N，试判断MQN是否为定值，若是，请证明你的结论；若不是，请举出反例说明解：MQN是定值90，证明如下：设P(x0，y0)，直线AP：yk(x2)(k0)，令x0可得M(0,2k)，将1与yk(x2)联立，整理可得(2k21)x28k2x8k240，则2x0，可得x0，y0，故P.直线BP斜率kBP，则直线BP：y(x2)，令x0可得N，设Q(xQ，y0)，则(xQ,2ky0)，由xy2，y0，可得xy2y00，所以QMQN，故MQN是定值90.巧用“韦达”，化
12、繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷典例已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由解题观摩(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为yx2，代入椭圆方程并化简得5x216x120.解得x12，x2，所以M.(
13、2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为yk(x2)，联立方程化简得(14k2)x216k2x16k240.则xAxM，xMxA2.同理，可得xN.由(1)知若存在定点，则此点必为P.证明如下：因为kMP，同理可计算得kPN.所以直线MN过x轴上的一定点P.题后悟通本例在第(2)问中应用了根与系数的关系求出xM，这体现了整体思想这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量针对训练已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且
14、与直线l相切的圆的方程解：(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1.(2)由(1)可知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的内切圆半径为r0，则有y1y2，y1y2，r0，所以SAF2BSAF1F2SBF1F2|F1F2|y1y2|F1F2|.而SAF2B|AB|r0|BF2|r0|AF2|r0r0(|AB|BF2|AF2|)r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)r04a8，所以，解得t21，因为所求圆与直线l相切，所以半径r，所以所求圆的方程为(x1)2y22.
