1、3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)如果方程x2m+2-y2m+1=1表示双曲线,则m的取值可能是()A.-4B.-2C.-1D.73解析要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)0,解得m-1.由选项知AD符合.答案AD2.已知双曲线x29-y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-5,0),则m=()A.9B.3C.16D.4解析双曲线x29-y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-5,0),25-m2=9.m0,m=4,故选D.答案D3.若ax2+by2=b(ab0),则这个曲线是()A.双曲线,焦点在x轴上B.双曲线,焦点在y轴上C.椭圆,焦点在
2、x轴上D.椭圆,焦点在y轴上解析原方程可化为x2ba+y2=1,因为ab0,所以ba0,b0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.答案B5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲
3、线的一支上解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,圆P与圆O和圆M都外切,|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=10),则9A-28B=1,72A-49B=1,解得A=-175,B=-125,故双曲线的标准方程为y225-x275=1.答案y225-x275=17.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32.则F1PF2的面积为.解析因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|
4、2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=100-1002|PF1|PF2|=0,所以F1PF2=90,所以SF1PF2=12|PF1|PF2|=1232=16.答案168.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.解当k0时,曲线方程化为y24-x2-8k=1,表示焦点在y轴的双曲线;当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;当0k2时,曲线方程化为y24+
5、x28k=1,表示焦点在y轴的椭圆.关键能力提升练9.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a0)过点15,-63,可得15a2-69=1,解得a=3,b=1,c=10,a+c3,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.答案C10.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M
6、,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,MF2=2.点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.由垂直平分线的性质可得PM=PF1.|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2F1F2.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.答案B11.已知双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,F1PF2的内切圆圆心为M,若SF1PM=SF2PM+8,则SF1MF2=()A.27B.6C.8D.10解析由双
7、曲线x216-y29=1得a=4,b=3,可得c=a2+b2=5.设F1PF2的内切圆的半径为r,由SF1PM=SF2PM+8,可得12r|PF1|=12r|PF2|+8,即12r(|PF1|-|PF2|)=8.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,则有4r=8,解得r=2,则SF1MF2=12r|F1F2|=10.答案D12.(多选题)已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲线为C,下列说法正确的有()A.当1t4或t1时,曲线C为双曲线C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1t4解析A错误,当t=52时,曲线C为圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)0,t4;C正确
8、,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-tt-10,1t52;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则4-t0,t4.答案BCD13.(多选题)关于x,y的方程x2m2+2+y23m2-2=1,其中m223,方程对应的曲线可能是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线解析若m2+23m2-20,解得-2m2,且m63,则当x-2,-6363,2时,曲线是焦点在x轴上的椭圆,A正确;若3m2-2m2+20,解得m2,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,B正确;若3m2-20,解得-63m63,此时曲线是焦点在x轴上的双曲线,C正确;因为m2+20
9、时,m无实数解,所以D错误.答案ABC14.设P是双曲线x29-y216=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.解析如图所示,设双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.由圆的几何性质得|PM|PF2|+2,|PN|PF1|-1,所以|PM|-|PN|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.答案915.一动
10、圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为.解析设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4r2),=F1MF2,因为SF1MF2=12r1r2sin,已知,所以只需求r1r2即可.(1)当=90时,SF1MF2=12r1r2sin=12r1r2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=13,由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4,两边平方,得r12+r22-2r1r2=16.又r12+r22=|F1F2|2,即|F1F2|2-4SF1MF2=16,也即52-16=4SF1MF2,求得SF1MF2=9.(2)若F1MF2=120
11、,则在F1MF2中,|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos120=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得SF1MF2=12r1r2sin120=33.同理,可求得当F1MF2=60时,SF1MF2=93.学科素养创新练17.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)满足如下条件:ab=3;过右焦点F的直线l的斜率为212,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|QF|=21,求双曲线的方程.解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l为y=212(x-c).令x=0,得P0,-212c.由题意知PQ=2QF,Q23c,-216c,且Q在双曲线上,23c2a2-216c2b2=1.a2+b2=c2,491+b2a2-712a2b2+1=1,解得b2a2=3或b2a2=-716(舍去).又由ab=3,得a2=1,b2=3.所求双曲线方程为x2-y23=1.
