1、本章达标检测(满分:150 分;时间:120 分钟)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线 x-3y-1=0 的倾斜角=()A.30 B.60 C.120 D.150 2.方程 2x2+2y2-4x+8y+10=0 表示的图形是()A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 3.已知圆 C1:x2+y2-6x+4y+12=0 与圆 C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆 C1与圆 C2有且仅有一个公共点,则实数 a 等于()A.14 B.34 C.14 或 45 D.34 或 14 4.已知直线
2、 l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若 l1l2,则实数 a=()A.-1 或 1 B.0 或 1 C.1 D.-1 5.已知 a0,b0,直线 l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且 l1l2,则2+1的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.9 6.直线 l:x-2y-1=0 与圆 M:x2+y2-4x-6y+k=0 相交于 A,B 两点,且|AB|=4,则实数 k 的值为()A.6 B.23 C.10 D.4 7.已知圆 O:x2+y2=r2,点 P(a,b)(ab0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦所在的直线为 l1,直线 l2的方程为
3、 ax+by+r2=0,那么()A.l1l2,且 l2与圆 O 相离 B.l1l2,且 l2与圆 O 相切 C.l1l2,且 l2与圆 O 相交 D.l1l2,且 l2与圆 O 相离 8.已知圆 C 的圆心为原点 O,且与直线 x+y+42=0 相切.点 P 在直线 x=8 上,过点 P 引圆 C 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,如图所示,则直线 AB 恒过的定点坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,
4、有选错的得 0 分)9.下列说法错误的是()A.“a=-1”是“直线 a2x-y+1=0 与直线 x-ay-2=0 互相垂直”的充要条件 B.直线 xsin+y+2=0 的倾斜角 的取值范围是0,4 34,)C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为-12-1=-12-1 D.经过点(1,1)且在 x 轴和 y 轴上截距相等的直线方程为 x+y-2=0 10.已知圆 O:x2+y2=4 和圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1.现给出如下结论,其中正确的是()A.圆 O 与圆 C 有四条公切线 B.过点 C(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 x+y=5 或 x-y+1
5、=0 C.过点 C 且与圆 O 相切的直线方程为 9x-16y+30=0 D.P、Q 分别为圆 O 和圆 C 上的动点,则|PQ|的最大值为13+3,最小值为13-3 11.已知直线 l1:2x+3y-1=0 和 l2:4x+6y-9=0,若直线 l 到直线 l1的距离与到直线 l2的距离之比为 12,则直线的方程可能为()A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0 C.2x+3y-5=0 D.12x+18y-13=0 12.设有一组圆 Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(kR),下列命题正确的是()A.不论 k 如何变化,圆心 Ck始终在一条直线上 B.所有圆 Ck均经过点(3,0)C
6、.存在一条直线始终与圆 Ck相切 D.若 k(22,322),则圆 Ck上总存在两点到原点的距离为 1 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答 案填在题中横线上)13.圆心在直线 x-2y+7=0 上的圆 C 与 x 轴交于 A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆 C 的方程为 .14.在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .15.若曲线 C1:y=2+-2-2与曲线 C2:(y-2)(y-kx+k)=0 有四个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 .16.已知直线 l:y=k(x+4)与圆(
7、x+2)2+y2=4 相交于 A、B 两点,M 是线段 AB 的中点,则 M 的轨迹方程为 ;M 到直线 3x-4y-6=0 的距离的最小值为 .(本题第一空 3 分,第二空 2 分)四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知直线 l 过点 P(-1,2).(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距和为零,求 l 的方程;(2)设直线 l 的斜率 k0,直线 l 与两坐标轴的交点分别为 A、B,求AOB 面积的最小值.18.(本小题满分 12 分)等腰直角ABC 的直角为角 C,且点 C(0,-1),斜边 AB 所在的直线
8、方程为 x+2y-8=0.(1)求ABC 的面积;(2)求斜边 AB 中点 D 的坐标.19.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 Oxy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 与圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1截得的弦长为 23,求直线 l 的方程;(2)设 P 为平面上的点,且满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,它们分别与圆 C1和圆 C2相交,且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.20.(本小题满分 12 分)已知ABC 中
9、,BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,A 的平分线所在的直线方程为 y=0,点 C 的坐标为(1,2).(1)求点 A 和点 B 的坐标;(2)过点 C 作直线 l 分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于点 M、N,求MON(O 为坐标原点)面积的最小值及此时直线l 的方程.21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m变化时,解答下列问题:(1)能否出现 ACBC 的情况?说明理由;(2)证明 y 轴被过 A,B,C 三点的圆截得的弦长为定值.22.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系
10、中,直线 l:x-3y-4=0 交 x 轴于点 M,以 O 为圆心的圆与直线 l 相切.(1)求圆 O 的方程;(2)设点 N(x0,y0)为直线 y=-x+3 上一动点,若在圆 O 上存在点 P,使得ONP=45,求 x0的取值范围;(3)是否存在定点 S,对于经过点 S 的直线 a,当 a 与圆 O 交于 A,B 两点时,恒有AMO=BMO?若存在,求出点 S的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析 一、单项选择题 1.A 直线 x-3 1=0 的斜率=33,由斜率和倾斜角的关系可得 tan=33,00,b0,所以2+1=(2+1)(+2)=2+2+4+4+24 =8,当且仅当4=,即=
11、12,=14 时,等号成立,所以2+1的最小值为 8.故选 C.6.D 由题意知,(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆心为(2,3),半径 r 为13-,所以圆心到直线的距离 d=|2-23-1|1+(-2)2=5,由 d2+(|2)2=r2,得 5+22=13-k,解得 k=4,故选 D.7.A 点 P(a,b)在圆 O 内部,2+22|=|r|,l2与圆 O 相离.8.A 依题意得圆 C 的半径 r=4212+12=4,所以圆 C 的方程为 x2+y2=16.连接 OA,OB.因为 PA,PB 是圆 C 的两条切线,所以 OAAP,OBBP,所以 A,B 在以 OP 为直径的圆上,设
12、点 P 的坐标为(8,b),bR,则线段 OP 的中点坐标为(4,2),所以以 OP 为直径的圆的方程为(x-4)2+(-2)2=42+(2)2,bR,化简得 x2+y2-8x-by=0,bR,因为 AB 为两圆的公共弦,所以直线 AB 的方程为 8x+by=16,bR,即 8(x-2)+by=0,所以直线 AB 恒过定点(2,0).二、多项选择题 9.ACD 当 a=0 时,两直线方程分别为 y=1 和 x=2,此时也满足直线相互垂直,故 A 说法错误;直线的斜率 k=-sin,则-1k1,即-1tan 1,0,4 34,),故 B 说法正确;当1=2 或1=2 时,直线方程为=1 或=1,
13、此时直线方程-12-1=-12-1不成立,故 C 说法错误;若直线过原点,则直线方程为 y=x,此时也满足条件,故 D 说法错误,故选 ACD.10.AD 设圆 O 的半径为 r1,圆 C 的半径为 r2.由题意得,圆心距|OC|=13r1+r2=2+1=3,所以两圆外离,有四条公切线,A 正确;与坐标轴截距相等的直线过原点或斜率为-1,故 B 不正确;因为点 C(2,3)在圆 O 的外部,所以过点 C 与圆 O 相切的直线有两条,故 C 不正确;|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=13+3,最小值为|1 2=13-3,故 D 正确.故选 AD.11.BD 直线 l1的方程可化为 4x+
14、6y-2=0.设 l 到 l1的距离为 d1,l 到 l2的距离为 d2,l 的方程为 4x+6y+c=0(c-2 且 c-9),则 d1=|-(-2)|42+62,2=|-(-9)|42+62.依题意得12=12,即 d2=2d1,|c+9|=2|c+2|,化简得 c+9=2c+4 或 c+9=-2c-4,解得 c=5 或 c=-133.因此,直线 l 的方程为 4x+6y+5=0 或 12x+18y-13=0.故选 BD.12.ACD 对于 A,圆心的坐标为(k,k),满足 x=y,所以圆心在直线 y=x 上,故 A 正确;对于 B,(3-k)2+(0-k)2=4,化简得 2k2-6k+5
15、=0,=-40,无解,故 B 错误;对于 C,易知与直线 y=x 平行且距离为 2 的直线始终与圆 Ck相切,即定直线 y=x22始终与圆 Ck相切,故 C 正确;对于 D,圆 Ck上总存在两点到原点的距离为 1,可转化为圆 x2+y2=1 与圆 Ck有 2 个交点,则 12|k|3,解得 k(22,322)(-322,-22),故 D 正确.故选 ACD.三、填空题 13.答案(x+3)2+(y-2)2=5 解析 线段 AB 的中垂线方程为 x=-3,代入直线 x-2y+7=0,得 y=2,故圆心 C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径 r=|AC|=5,圆 C 的方程为(x+3)2+
16、(y-2)2=5.14.答案(2,4)解析 如图,设平面直角坐标系中任一点 P,P 到 A,B,C,D 的距离之和为 PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC,故四边形 ABCD 的对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点.易知直线 AC 的方程为 y=2x,直线 BD 的方程为 x+y-6=0,解方程组=2,+-6=0,得 =2,=4,故填(2,4).15.答案(-4-73,-2)解析 由 C1:y=2+-2-2得(x+1)2+(y-2)2=1(y2),曲线 C1表示以(-1,2)为圆心,1 为半径的上半圆,显然直线 y=2 与曲线 C1有两个交点,交点为半圆的两个端点,直
17、线 y=kx-k=k(x-1)与半圆有 2 个除端点外的交点,当直线 y=k(x-1)经过点(0,2)时,k=2-00-1=2,当直线=(1)与半圆相切时,|2+2|1+2=1,解得=-4-73或=-4+73(舍),所以当-4-73 k-2 时,直线 y=k(x-1)与半圆有 2 个除端点外的交点,故答案为(-4-73,-2).16.答案(x+3)2+y2=1(x-4);2 解析 圆(x+2)2+y2=4 的圆心 C(-2,0),半径 r=2,则圆心 C 到直线 y=k(x+4)的距离 d=|-2+4|2+1=|2|2+12,直线 l:y=k(x+4)过定点 A(-4,0),设 M(x0,y0
18、),B(x1,y1),则0=-4+12,0=12,得 1=20+4,1=20,代入(x+2)2+y2=4,可得(x0+3)2+02=1,所以 M 的轨迹是以(-3,0)为圆心,1 为半径的圆,故 M 的轨迹方程为(x+3)2+y2=1(x-4).则 M 到直线 3x-4y-6=0 的距离的最小值为|-33-6|5-1=2.四、解答题 17.解析(1)由题意得直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1)(k0),即 kx-y+2+k=0,(2 分)则它在两坐标轴上的截距分别为-1-2和 k+2,(3 分)由题意,得-1-2+k+2=0,k=-2 或 k=1,直线 l
19、 的方程为 2x+y=0 或 x-y+3=0.(5 分)(2)不妨设 A(-2-1,0),B(0,k+2),AOB 的面积 S=12|-2-1|k+2|=2+2+222 2+2=4,当且仅当 k=2 时,等号成立,(8 分)故AOB 面积的最小值为 4.(10 分)18.解析(1)顶点 C 到斜边 AB 的距离 d=|0+2(-1)-8|12+22=105=25,(3 分)所以斜边|AB|=2d=45,(4 分)故ABC 的面积 S=12|=12 45 25=20.(6 分)(2)由题意知,CDAB,又 kAB=-12,所以 kCD=2,(7 分)所以直线 CD 的方程为 y=2x-1,即 2
20、x-y-1=0,(9 分)由+2-8=0,2-1=0,解得=2,=3,(11 分)所以点 D 的坐标为(2,3).(12 分)19.解析(1)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,所以圆心 C1(-3,1)到直线 l 的距离 d=|-3-1-4|2+(-1)2=4-(232)2=1,(2 分)化简得 24k2+7k=0,解得 k=0 或 k=-724.(3 分)所以直线 l 的方程为 y=0 或 y=-724(x-4),即 y=0 或 7x+24y-28=0.(5 分)(2)设点 P 的坐标为(m,n),不妨设直线 l1,l2的方程分别
21、为 y-n=k(x-m),y-n=-1(),即 +=0,1 +=0.(6 分)因为直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心 C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心 C2(4,5)到直线 l2的距离相等,即|-3-1+-|2+(-1)2=|-4-5+|(-1)2+(-1)2,(8 分)化简得(2-m-n)k=m-n-3 或(m-n+8)k=m+n-5,关于 k的方程有无穷多解,则2-=0,-3=0或-+8=0,+-5=0,(10 分)解得=52,=-12或 =-32,=132,故满足条件的点的坐标为(52,-12)或(-32,132).(12
22、 分)20.解析(1)因为点 A 在 BC 边上的高所在的直线 x-2y+1=0 上,且在A 的平分线所在的直线 y=0 上,所以解方程组-2+1=0,=0,得 A(-1,0).(2 分)因为 BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,所以 kBC=-2,因为点 C 的坐标为(1,2),所以直线 BC 的方程为 2x+y-4=0,(4 分)因为 kAC=1,kAB=-kAC=-1,所以直线 AB 的方程为 x+y+1=0,解方程组+1=0,2+-4=0,得 B(5,-6),故点 A,点 B 的坐标分别为(-1,0),(5,-6).(6 分)(2)依题意得直线的斜率存在,设直线 l 的方
23、程为 y-2=k(x-1)(k0),则 M(-2,0),N(0,2-k),(8 分)所以 SMON=12-2(2-k)=12(4-4)12 4+2-4(-)=4,(10 分)当且仅当-4=-k,即 k=-2 时取等号,所以(SMON)min=4,此时直线 l 的方程是 2x+y-4=0.(12 分)21.解析 设 A(x1,0),B(x2,0).(1)不能出现 ACBC 的情况,(1 分)理由如下:因为 x1,x2满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2.(3 分)又 C 的坐标为(0,1),所以 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为-11-12=12-1,所以不能出现 ACBC 的情况.
24、(5分)(2)证明:线段 BC 的中点坐标为(22,12),=1-00-2=12,所以线段的中垂线方程为 12=2(-22).由(1)可得 x1+x2=-m,所以线段 AB 的中垂线方程为 x=-2.(7 分)联立=-2,-12=2(-22),得 y=-12(22+mx2-1),(8 分)又22+mx2-2=0,所以=-2,=-12.所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为(-2,-12),半径=2+92.(10 分)故 y 轴被圆截得的弦长为 22-(2)2=3,即 y 轴被过 A,B,C 三点的圆截得的弦长为定值.(12 分)22.解析(1)由直线 l:x-3 4=0,得原点到直线的距离=
25、41+3=2,(2 分)故圆 O 的方程为 x2+y2=4.(4 分)(2)过 N 作圆 O 的切线,切点为 Q,如图所示,图 则ONQONP=45,sinONQ=|sinONP=22,|ON|22.(6 分)由点 N(x0,y0)为直线 y=-x+3 上一动点,得02+02=02+(3-x0)28,解得3-72 x03+72.(8 分)(3)存在定点 S(1,0),使得AMO=BMO 恒成立,如图所示.图 设直线 AB:y=kx+m(k0),直线 AB 与圆 O 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程=+,2+2=4,得(1+2)2+2+2 4=0,则 1+2=-21+2,12=2-41+2,由AMO=BMO,得 kAM+kBM=0,由 M(4,0),得 2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,2k2-41+2+(4)(-21+2)-8m=0,化简得 m=-k.此时直线 AB:y=kx-k,恒过定点 S(1,0).(10 分)当直线 AB 的斜率不存在时,由圆的对称性知直线过 S(1,0)时也满足AMO=BMO.因此存在定点 S(1,0),使得AMO=BMO 恒成立.(12 分)
