1、复旦大学附属中学2019学年第二学期高二年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共12题）1函数的定义域为_2函数的反函数是=_3已知，且，则的最小值是_4已知，则等于_5将，五这5名同学排成一排，则与相邻的排法共有_种6已知集合，若，则实数的取值范围是_7函数，若的最小值为2，则的最大值为_8一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为_9一名工人维护甲、乙、丙3台独立的机床，在一小时内，甲、乙和丙需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则至少有一台机床不需要维护的概率为_10某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由：一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底
2、面半径之比为3：2，工艺品的体积为现设圆柱的底面半径为，工艺品的表面积为，半球与圆柱的接触面积忽略不计试写出关于的函数关系式及的取值范围_11如图，在长方体中，点在侧面上若点到直线和的距离相等，则的最小值是_12若函数对定义域内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”给出下列命题：单调函数一定是自倒函数；自倒函数可以是奇函数；自倒函数的值域可以是；若，都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数则以上命题正确的是_（写出所有正确命题的序号）二、选择题（本大题共4题）13已知，是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则则以上命题中真命题的个数为（
3、 ）A0B1C2D314若实数，满足，则函数的零点所在区间是（ ）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）15已知函数，函数的定义域为且满足当时，若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD16已知定义在上的两个函数、的最大值、最小值分别为，与，给出如下两个命题：若，则不等式对一切恒成立的充要条件是；若，则不等式在上有解的充要条件是.关于两个命题的真假，下面判断正确的是（ ）A命题、均为真命题B命题为真命题，命题为假命题C命题、均为假命题D命题为假命题，命题为真命题三、解答题（本大题共5题）17设函数（1）当时，解不等式；（2）若，且关于的方程在2，6上有实数解，求实数的取
4、值范围18用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，设清洗前残留的农药量为1对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与该次清洗前蔬菜上残留的农药量之比为函数（1）试规定的值，解释其实际意义；并求的值；（2）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由19如图，在三棱锥中，和均是等腰三角形，且，（1）求证：直线与直线不垂直；（2）求直线与平面所成角的正弦值20设函数，如果对任意一个三角形，它的三边
5、长，且，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.（1）求证：不是“保三角形函数”；（2）试判断是否为“保三角形函数”，并说明理由；（3）若，叫是“保三角形函数”，试求的最小值21已知函数，其中（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；（3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.复旦大学附属中学2019学年第二学期高二年级数学期末考试试卷答案一、填空题（本大题共12题）1【答案】：2【答案】：3【答案】：4【答案】：725【答案】：486【答案】：7【答案】：128【答案】：9【答案】：0.38810【答案】
6、：，11【答案】：12【答案】：二、选择题（本大题共4题）13【答案】：C14【答案】：B15【答案】：D16【答案】：B三、解答题（本大题共5题）17【答案】：见解析【解析】：（1）由题意，知，则解得，故，原不等式的解集为（2），即在2，6上递增时，；时，所以，实数的取值范围是18【答案】：见解析【解析】：（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1（3）用单位量的水清洗一次，残留的农药量为把单位量的水平均分成2份清洗两次后，残留的农药量为则于是，当时，；当时，；当时，；答：当时，一次清洗残留的农药较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；当时，清洗两次后残留的农药量较少19【答案】：见解析【
7、解析】：（1）假设因为，且，所以，所以，则这与已知矛盾，从而假设不成立故，直线与直线不垂直（2）解法一：如图，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系则，设，由，计算得，由，解得，即平面的一个法向量为，则故直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：取的中点，的中点，联结，由已知，得在中，在中，在中，由已知得，且，所以，所以取中点，连，则故，从而即为直线与平面所成的角因为，所以直线与平面所成角的正弦值为20【答案】：见解析【解析】：（1），是一个直角三角形的三边长，但，不能构成三角形，所以不是“保三角形函数”.（2）是“保三角形函数”设一个三角形的三边长，不妨设，且因为所以 则故是“保三角
8、形函数”（3）设一个三角形的三边长，不妨设，且由，得因为，也是某个三角形的三边长，所以，能作为某个三角形的三边长又则当，时，则一定有成立当时，取，有，即成立，此时，可作为一个三角形的三边长，但，即，所以、不能作为三角形的三边长综上所述，的最小值为221【答案】：见解析【解析】：（1）函数的定义域为当时，为偶函数；当时，由，得，且，为非奇非偶函数（2）证明：充分性：已知，取则所以点在函数图像上必要性：已知存在实数，使得点在函数图像上则（3）由于可知：具有如下两个性质：1）对任意，均有；2）对任意负实数，不等式的解集为，当时，的最小值为0，理由如下：若，取，由性质2）可知，即不满足由性质1）可知，满足当时，的最小值为，理由如下：若，取，由性质2）可知，即不满足若，当时，由性质1）可知：当时，由性质2）所以对任意恒成立，即满足.综上：
