1、章 末 归 纳 整 合 【知识构建】专题一 定义的应用对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的标准方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决【思想方法专题】【例 1】如图所示，已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F1，F2 为左、右焦点P 为双曲线上一点且F1PF260，SPF1F212
2、 3，求双曲线的标准方程解：设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)eca2，c2a.由双曲线的定义有|PF1|PF2|2ac，在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos 60)，即 4c2c2|PF1|PF2|.【方法点评】利用双曲线的定义寻找等量关系，从而求得双曲线方程，利用定义使问题简便易行遇到椭圆或双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题，本题还要注意整体代换和余弦定理的运用又 SPF1F212 3，12|PF1|PF2|si
3、n 6012 3，即|PF1|PF2|48.由得，c216，c4，则 a2，b2c2a212.所求的双曲线的标准方程为x24y2121.变式训练1.过抛物线y24x的焦点的一条直线交抛物线于A，B两点，正三角形ABC的顶点C在该抛物线的准线上，则ABC的边长是()A8B10C12D14【答案】C【解析】抛物线y24x的焦点为F(1,0)，设AB的中点为M，过A，B，M分别作AA1，BB1，MN垂直准线x1于A1，B1，N，如图设AFx，由抛物线定义知|MN|12(|AA1|BB1|)12|AB|.|MC|32|AB|，|MN|13|MC|.CMN90，cosCMNcos(90)|MN|MC|1
4、3，即 sin 13.又由|AF|AA1|2|AF|cos，得|AF|21cos，同理，|BF|21cos，|AB|AF|BF|4sin212.故选 C.专题二 圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题属一类问题，解法是统一的，主要有几何与代数法，其中包括数形结合法、函数法、变量代换法、不等式(组)法、三角换元法等，主要考查观察、分析、综合、构造、创新等方面的综合思维能力【例 2】如图，已知定点 A(2，2)，B(5,4)，P 是椭圆 C：x225y291 上任一点(1)求|PF2|PB|的最小值；(2)求|PF2|PA|的最小值和最大值解：(1)P，B，F2 三点不共线时，构成三角
5、形，两边之和大于第三边，即|PF2|PB|BF2|；当点 P 落在 B 和 F2 连线上时，|PF2|PB|BF2|.【方法点评】求已知两线段和或差的最值和范围可以通过三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解又 F2(4,0)，|BF2|542402 17，所以|PF2|PB|的最小值是|BF2|17.(2)由椭圆定义，得|PF2|PA|2a|PA|PF1|.|AF1|PA|PF1|AF1|，当 P，A，F1 三点共线时，取得最值又 a5，F1(4,0)，|AF1|2422022 10，所以|PF2|PA|102 10，102 10，即|PF2|PA|的最小值为 102 10，最大值
6、为 102 10.变式训练2.如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围解：(1)由题意可得抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得p21，即 p2.(2)由(1)得抛物线方程为 y24x，F(1,0)，可设 A(t2,2t)，t0，t1.AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)由y24x，xsy1，消去 x，得 y24sy40，y1y24，B1t2
7、，2t.又直线 AB 的斜率为 2tt21，直线 FN 的斜率为t212t.从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t，Nt23t21，2t.设 M(m,0)，由 A，M，N 三点共线得 2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m 2t2t2122t21.m2.经检验，m2 满足题意综上，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，)专题三 轨迹问题的探求方法一般地，求轨迹方程有直接求法和间接求法，直接求法主要是定义法，间接求法包括转移法、参数法、代换法等【例 3】已知椭圆x29y241 及点 D(2,1)，过点 D 任意引直线交椭圆于 A，B 两点，求线段 AB 中点 M 的
8、轨迹方程解：设 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 所在直线的斜率为 k，则4x219y2136，4x229y2236.，得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0.M(x，y)为 AB 中点，x1x22x，y1y22y.42x(x1x2)92y(y1y2)0.当 x1x2 时，ky1y2x1x24x9y.【方法点评】运用设而不求法求直线斜率时一定要注意分x1x2和x1x2两种情况讨论，同时注意对结果检验，一般是用“0”又 ky1x2，y1x24x9y.化简得 4x29y28x9y0.当 x1x2 时，中点 M(2,0)满足上述方程，点 M 的轨迹方程
9、为 4x29y28x9y0.【例4】设圆(x1)2y21的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程解：(方法一，直接法)设 B 点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2|BC|2|OC|2，如图所示，即 x2y2(x1)2y21，即 OA 中点 B 的轨迹方程为x122y214(去掉原点)(方法二，几何法)设 B 点坐标为(x，y)，由题意知 CBOA，OC 的中点记为 M12，0，如图，则|MB|12|OC|12，故 B 点的轨迹方程为x122y214(去掉原点)(方法三，代入法)设 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x，y)，由题意得xx12，yy12，即x12x，y1
10、2y.又因为(x11)2y211，所以(2x1)2(2y)21.所以点 B 的轨迹为x122y214(去掉原点)(方法四，交点法)设直线 OA 的方程为 ykx，当 k0 时，B 为(1,0)；当 k0 时，直线 BC 的方程为 y1k(x1)，直线 OA，BC 的方程联立消去 k，即得其交点轨迹方程：y2x(x1)0，即x122y214(x0,1)显然 B(1,0)满足x122y214，故x122y214(去掉原点)为所求【方法点评】对于求轨迹方程问题，要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型.求出轨迹方程时要注意检验，多余的点要扣除，遗漏的点要补上.变式训练 3.已知点 A，
11、B 的坐标分别是(1,0)，(1,0)，直线AM，BM 相交于点 M 且它们的斜率之积为2.(1)求动点 M 的轨迹方程；(2)若过点 N12，1 的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C，D 两点且 N 为线段 CD 的中点，求直线 l 的方程【解析】(1)设 M(x，y)，直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为2，yx1 yx12，化简得 x2y221(x1)动点 M 的轨迹方程为 x2y221(x1)(2)根据题意可得直线 l 的斜率存在，设 l：y1kx12，C(x1，y1)，D(x2，y2)，代入椭圆方程，整理可得(2k2)x2k(k2)x12k1 220，x1x2kk22k2.N12，
12、1 为 CD 的中点，kk22k2 1，解得 k1.直线 l 的方程为 2x2y30.圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，注意在知识交汇处的命题【解读高考】1.(2020 年新课标)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有 9p212
13、，解得 p6.故选 C.2.(2020 年新课标)设 O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于 D，E 两点.若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】由题意可得双曲线的渐近线方程为 ybax，分别将 xa，代入可得 yb，即 D(a，b)，E(a，b)，则 SODE12a2bab8，c2a2b22ab16，当且仅当 ab2 2时取等号，C 的焦距的最小值为 248.故选 B.3.(2019 年新课标)设 F1，F2 为椭圆 C：x236y2201 的两个焦点，M 为 C 上一点且
14、在第一象限，若MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为 .【答案】(3，15)【解析】设 M(x，y)，x0，y0，由题可知 c4，椭圆C 的离心率 eca23.由 M 为 C 上一点且在第一象限，可得|MF1|MF2|.MF1F2 为等腰三角形，则|MF1|2c 或|MF2|2c，即623x8，解得 x3，所以 y 15；或 623x8，解得 x3(舍去).所以 M 的坐标为(3，15).4.(2019 年天津)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M
15、 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上.若|ON|OF|(O为原点)，且 OPMN，求直线 PB 的斜率.解：(1)由题意可得 2b4，b2.又 eca 55，a2b2c2，a 5，c1.椭圆方程为x25 y241.(2)由(1)知 B(0,2).设 PB 的方程为 ykx2.联立化简得(45k2)x220kx0，解得 x 20k45k2或 x0.ykx2810k245k2.P 20k45k2，810k245k2.在 ykx2 中，令 y0，得 M2k，0.又 N(0，1)，由 OPMN，得810k220k 12k1，解得 k2 305.直线 PB 的斜率为2 305.
