1、14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数基础认知自主学习1一组数据的极差、样本方差、样本标准差(1)一组数据的极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差(2)样本方差和样本标准差设一组样本数据 x1，x2，xn，其平均数为 x，则称 s2n2ii 11(xx)n为这个样本的方差其算术平方根 sn2ii 11(xx)n为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差(3)一个方差的计算公式一般地，若取值为 x1，x2，xn 的频率分别为 p1，p2，pn，则其方差为 p1(x1 x)2p2(x2 x)2pn(xn x)2.2分层抽样数据的方差一般地，如果总体分为 k 层，第 j 层抽取的样本为
2、 xj1，xj2，jjnx，第 j 层的样本量为 nj，样本平均数为 xj，样本方差为 s2j，j1，2，k.记kjj 1nn，那么，所有数据的样本方差为2s总jink2jj 1i 11(xx)n k22jjjj 11n s+(xx)n1某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了 6 个获奖名额，共有11 名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这 11 名学生决赛得分的()A中位数 B平均数C众数 D方差【解析】选 A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知 11 人成绩的中位数是第 6 名的得分根据题意可得：参赛选手
3、要想知道自己是否能进入前 6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可2在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A92，2 B92，2.8C93，2 D93，2.8【解析】选 B.去掉一个最高分 95 与一个最低分 89 后，所得的 5 个数分别为 90，90，93，94，93，所以 x 9090939493592，s22（9092）22（9392）2（9492）25145 2.8.3(教材练习改编)已知数据 x1，x2，x3，xn 是上海普通职工 n(n3，nN*)个人
4、的年收入，设这 n 个数据的中位数为 x，平均数为 y，方差为 z，如果再加上世界首富的年收入 xn1，则这 n1 个数据中，下列说法正确的是()A年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变【解析】选 B.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大4从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为_分数54321人数2010303010【解析】因为这 100 人成绩的平均数
5、x 205104303302101100100409060101003，所以这 100 人成绩的方差 s2 1100 20221012300230121022160100 85，所以标准差 s2 105.答案：2 1055甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取 6 件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定【解析】(1)甲的平均数 x甲16(9910098100100103)100，乙的平均数 x乙16(991
6、0010299100100)100.s2甲 16(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)273，s2乙 16(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又 s2甲 s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定学情诊断课时测评一、单选题1下列说法正确的是()A在两组数据中，平均数较大的一组极差较大B平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小C方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D在记录两个人射击环数的两组数据中，方
7、差大说明射击水平稳定【解析】选 B.平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以 A 错误；方差公式 s2n2ii 11(xx)n，所以 C 错误；方差大说明射击水平不稳定，所以 D 错误2已知数据 x1，x2，xn 的平均数为 x，方差为 s2，则 2x13，2x23，2xn3 的平均数和方差分别为()A x 和 s2B2 x 3 和 4s2C2 x 3 和 s2D2 x 3 和 4s212s9【解析】选 B.因为数据 x1，x2，xn 的平均数为 x，方差为 s2，所以 2x13，2x23，2xn3 的平均数和方差分别为 2 x 3 和 4s2.3现有 10
8、 个数，其平均数为 3，且这 10 个数的平方和是 100，那么这组数据的标准差是()A1 B2 C3 D4【解析】选 A.由 s21n x21 x22 x2n x2，得 s2 110 100321，即标准差 s1.4下列各组数中方差最小的是()A1，2，3，4，5 B2，2，2，4，5C3，3，3，3，3 D2，3，2，3，2【解析】选 C.对于选项 A：平均数为15(12345)3，方差为 s215(13)2(23)2(33)2(43)2(53)22；对于选项 B：平均数为15(22245)3，方差为 s215(23)2(23)2(23)2(43)2(53)21.6；对于选项 C：平均数为
9、15(33333)3，方差为 s215(33)2(33)2(33)2(33)2(33)20；对于选项 D：平均数为15(23232)2.4；方差为 s215(22.4)2(32.4)2(22.4)2(32.4)2(22.4)20.24.因为 00.241.62，所以选项 C 中的数据方差最小5甲、乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为 x甲，x乙，标准差分别为 s 甲，s 乙，则()A x甲 x乙，s 甲s 乙B x甲s 乙C x甲 x乙，s 甲 x乙，s 甲s 乙【解析】选 C.由题图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知
10、x甲 x乙题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，所以 s 甲5，s22 B x 5，s22C x 5，s22【解析】选 B.因为 x1，x2，x3，x4，x5 的平均数为 5，方差为 2，则加入 5 后平均数为：x 16(555)5，方差为：s216 52（55）253 2.3若某同学连续 3 次考试的名次(3 次考试均没有出现并列名次的情况)不超过 3，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续 3 次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是()A甲同学：平均数为 2，众数为 1B乙同学：平均数为 2，方差小于 1C丙同学：中位数为 2，众数为 2D丁同学：众数为 2，方差大于 1【解析】选 B.甲同学：若平均数为 2，众数为 1，则有一次名次应为 4，故排除 A；乙同学：平均数为 2，设乙同学 3 次考试的名次分别为 x1，x2，x3，则方差 s213(x12)2(x22)2(x32)21，则(x12)2(x22)2(x32)2 xBB xAsBDsAs2B，所以在平均数相同的情况下，B 的波动较小，所以 B 的成绩好些(2)从题干图中折线趋势可知：尽管 A 的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测 A 的潜力大，所以派 A去参赛较合适
