1、系列丛书 进入首页第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第一节 平面向量的概念及其线性运算第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版
2、数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一 向量的有关概念1向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_2零向量：长度为_的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于_的向量4平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向_的向量6相反向量：长度相等且方向_的向量第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）答案1方向 模 2.0 3.1 个单位4相反 5.相同 6.相反第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1给出下
3、列结论：a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点；向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行其中正确结论的序号是 _.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：结论中的向量 b 如果是零向量，则结论不成立；结论中两个向量的起点和终点在同一条直线上时，它们的起点和终点不是平行四边形的四个顶点；在结论中，如果向量 a 与 b中至少有一个零向量，根据零向量与任意向量共线，则 a 与 b 共线，故结论是正确的；根据向量平行的概念知，两个向量有相同的起点
4、，它们也可能平行答案：第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差aba(b)第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|_.(2)当 0 时，a与 a 的方向_；当 0 时，a 与 a 的方向_；当 0时，a_.(a)_；()a_；(ab)_.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）答案ba
5、 a(bc)|a|相同 相反 0 a aa ab第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2判断正误(1)ABBCCD AD.()(2)在ABC 中，D 是 BC 的中点，则AD 12(ACAB)()答案：(1)(2)第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3(必修P92 习题 2.2B 组第 5 题改编)在平行四边形 ABCD 中，若|ABAD|ABAD|，则四边形 ABCD 的形状为_第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：如图，因为ABAD AC，ABAD DB，所以|AC|DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩
6、形可知，四边形 ABCD 是矩形答案：矩形第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点三 共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的_条件是存在唯一一个实数，使得_答案充要 ba第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4下列结论：若 a，b 共线，则一定存在实数，使得 ab；若存在实数，使得 ab，则 a，b 共线；若对任意实数 恒有 ab，则 ab0；其中正确结论的序号是_第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：中若 a0，b0，则不存在实数，使得 ab，不正确；中，若 b0，则 a0，两个零向量共线，若 b0，
7、根据共线向量定理知 a，b 共线；中，只有当 ab0 时，对任意 恒有 ab，正确答案：第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）5已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _.解析：由于 abl(b3a)，所以l13l解得 13.答案：13第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 平面向量的概念【例 1】给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC 是四边形 ABCD 为
8、平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是_第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确ABDC，|AB|DC|且ABDC，又A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则ABDC 且|AB|DC|，因此，ABDC.故“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c
9、 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且 ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.【答案】第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量 a 与 a|a|的关系：a|a|是 a 方向上的单位向量.第四章第一节系列丛书 进入首页 高
10、三总复习 新课标版 数学（文）设 a0 为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.假命题的个数是()A0 B1C2 D3第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.答案：D第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学
11、（文）热点二平面向量的线性运算考向 1 向量的线性运算【例 2】(1)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB的中点，则EBFC等于()A.BCB.12ADC.ADD.12BC第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD 2DC，则AD等于()A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】(1)EBFC12(ABCB)12(ACBC)12(ABAC)AD.(2)BD 2DC，AD ABBD 2DC 2(ACAD)，3A
12、D 2ACAB，AD 23AC13AB23b13c.【答案】(1)C(2)A第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）考向 2 根据向量线性运算求参数【例 3】在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC3CD，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO xAB(1x)AC，则 x 的取值范围是()A.0，12B.0，13C.12，0D.13，0第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】设CO yBC，AO ACCO ACyBCACy(ACAB)yAB(1y)AC.BC3CD，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不
13、重合)，y0，13，AO xAB(1x)AC，xy，x13，0.【答案】D第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2017惠州模拟)已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P为该平面上一点，且OP
14、3OA OB2，则()A点 P 在线段 AB 上B点 P 在线段 AB 的反向延长线上C点 P 在线段 AB 的延长线上D点 P 不在直线 AB 上第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：OP 3OA OB232OA 12OB OA 12(OA OB)OA12BA，即OP OA AP12BA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上答案：B第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三向量共线及应用【例 4】设两个非零向量 a 和 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A、B、D三点共线(2)试确定实数 k，使
15、kab 和 akb 共线第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)证明：因为ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，所以BD BCCD 2a8b3(ab)5(ab)5AB，所以AB，BD共线，又AB与BD 有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线(2)因为 kab 与 akb 共线，所以存在实数，使 kab(akb)即k，1k，解得 k1.即 k1 时，kab 与 akb 共线第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1若将本例(1)中“BC2a8b”改为“BCamb”，则 m为何值时，A、B、D 三点共线？第四章第一节系列丛书 进入首
16、页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：BCCD(amb)3(ab)4a(m3)b，即BD 4a(m3)b.若 A、B、D 三点共线，则存在实数，使BD AB.即 4a(m3)b(ab)4，m3，解得 m7.故当 m7 时，A、B、D 三点共线第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？解：因为 kab 与 akb 反向共线，所以存在实数，使 kab(akb)(0)所以k，k1，所以 k1.又 0，k，所以 k1.故当 k1 时两向量反向共线.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结
17、反思】(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立；若 1a2b0，当且仅当 120 时成立，则向量 a，b 不共线.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)设OA，OB 不共线，求证：点 P，A，B 共线的充要条件是：OP OA OB 且 1，R.(2)运用(1)的结论解决下面问题：在ABC 中，AD 2DB，CD13CACB，则 _.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1
18、)充分性：1，OP OA OB(1)OA OB第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）OA(OB OA)OA AB.OP OA AB.APAB，AP，AB共线有公共点 A，A，P，B 三点共线必要性：若 P，A，B 三点共线，第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）则APAB(OB OA)OP OA OB OA.OP(1)OA OB.令 1，则OP OA OB，其中 1.(2)由AD 2DB，知 A，B，D 三点共线131，从而 23.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1正确区别向量与数量确定向量需要同时确定其“大小
19、”和“方向”，向量可以用有向线段表示数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立2注意 0 与数 0 的区别，00，零向量是有方向的，它的方向是任意的.0aa，0a0，00，aa0，注意数量积 0a0，不能写成 0a0.第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3正确区别向量的加减法及其几何意义在ABBCAC中，AB的终点与BC的起点相同；在ABACCB中，AB与AC 共始点；首尾相连的封闭向量链，各向量之和为零向量，如ABBCCD DA 0.4证明三点 A，B，C 共线，借助向量，只需证明由这三点 A，B，C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数，使 ab(b0)即可第四章第一节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 26（点击进入）
