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《优化探究》2017届高三数学(理)高考二轮复习(课时作业)第一部分 专题一 第六讲 导数应用(二) .doc

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1、限时规范训练1已知函数f(x)x22aln x(a2)x,aR.(1)当a1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,)且x1x2有a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由解析:(1)函数f(x)x22aln x(a2)x,f(x)x(a2)(x0)当a1时,f(x),f(1)2,则所求的切线方程为yf(1)2(x1),即4x2y30.(2)假设存在这样的实数a满足条件,不妨设0x1a知f(x2)ax2f(x1)ax1成立,令g(x)f(x)axx22aln x2x,则函数g(x)在(0,)上单调递增,则g(x)x20,即

2、2ax22x(x1)21在(0,)上恒成立,则a.故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为.2已知函数f(x)xln x(x1)(axa1)(aR)(1)若a0,判断函数f(x)的单调性;(2)若x1时,f(x)0恒成立,求a的取值范围解析:(1)若a0,f(x)xln xx1,f(x)ln x.当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数(2)由题意知f(x)xln x(x1)(axa1)0在x(1,)上恒成立,f(x)为(1,)上的增函数,f(x)f(1)0,即f(x)1,只需ln x0在(1,)上恒成立记h(x)ln x,x(1,),则h(x),x(1,)由h(x)0,得x11,x2.

3、若a0,则x20在(1,)上恒成立,故h(x)为增函数,h(x)h(1)0,不合题意若0a0,h(x)为增函数,h(x)h(1)0,不合题意,若a,x(1,)时,h(x)0,h(x)为减函数,h(x)1时,f(x)0恒成立,则a.3(2016长沙一模)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定对这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克,根据市场调查,当16x24时,这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系:p2(x4t14)(x16,t0),q248ln (16x24)当pq时的市场价格称为市

4、场平衡价格(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元,政府补贴至少为每千克多少元?解析:(1)由pq得2(x4t14)248ln (16x24,t0)txln (16x24)t0)(1)若a1,证明:yf(x)在R上单调递减;(2)当a1时,讨论f(x)零点的个数解析:(1)证明:当x1时,f(x)10,f(x)在1,)上单调递减,f(x)f(1)0;当x1时,f(x)ex110.所以yf(x)在R上单调递减(2)若xa,则f(x)aa1),所以此时f(x)单调递减,令g(a)f(a)ln aa21,则g(a)2a0,所以f(a)g(a)

5、g(1)0,即f(x)f(a)0,故f(x)在a,)上无零点当x2时,f(x)0,f(x)单调递增,又f(0)e10,f0,所以此时f(x)在上有一个零点当a2时,f(x)ex1,此时f(x)在(,2)上没有零点当1a2时,令f(x0)0,解得x0ln(2a)110,所以此时f(x)没有零点综上,当12时,f(x)有一个零点5(2016张掖模拟)设函数f(x)ln xax(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)判断f(x)的单调性;(2)当f(x)0在(0,)上恒成立时,求a的取值范围;(3)证明:当x(0,)时,(1x)0,此时f(x)在(0,)上是增函数,当a0时,x时,f(x

6、)0,此时f(x)在上是增函数,x时,f(x)0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数(2)f(x)在(0,)上恒成立,设g(x),则g(x),当x(0,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,当x(e,)时,g(x)0,g(x)为减函数,故当xe时,g(x)取得最大值,所以a的取值范围是.(3)证明:要证当x(0,)时,(1x)e,设t1x,t(1,),只要证tet,两边取以e为底数的对数,即ln tt1.由(1)知当a1时,f(x)ln xx的最大值为1,此时x1,所以当t(1,)时,ln tt1,即得ln tt1,所以原不等式成立6(2016河南八市联考)已知函数f(x)(x2x1)ex,

7、其中e是自然对数的底数(1)求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线;(2)若方程f(x)x3x2m有3个不同的根,求实数m的取值范围解析:(1)因为f(x)(x2x1)ex,所以f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x2x)ex.所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为kf(1)2e.又f(1)e,所以所求切线方程为ye2e(x1),即2exye0.(2)因为f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x2x)ex,当x0时,f(x)0;当1x0,所以f(x)(x2x1)ex在(,1)上单调递减,在(1,0)上单调递增,在(0,)上单调递减,所以f(x)在x1处取得极小值f(1),在x0处取得极大值f(0)1.令g(x)x3x2m,得g(x)x2x.当x0时,g(x)0;当1x0时,g(x)0,所以g(x)在(,1)上单调递增,在(1,0)上单调递减,在(0,)上单调递增故g(x)在x1处取得极大值g(1)m,在x0处取得极小值g(0)m.因为方程f(x)x3x2m有3个不同的根,即函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点,所以,即.所以m1.

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