1、数列求和的七种基本方法数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法1 运用公式法很多数列的前项和的求法，就是套等差、等比数列前n项和的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：题1 (2016年高考全国卷I文科第17题)已知是公差为3的等差数列，数列满足（1）求的通项公式；（2）求的前n项和解 (1)在中选，得，即又因为是公差为3的等差数列，所以（2）由（1）得，即，得是以1为首项，为公比的等比数列，得.所以的前项和2 倒序相加法事实上，等差数列的前
2、项和的公式推导方法就是倒序相加法题2 求正整数与之间的分母为3的所有既约分数的和解 显然，这些既约分数为：有 也有 所以 题3 求数列的前n项和.解法1 因为，所以解法2 因为所以 进而可得N*).解法3 (倒序相加法)可得把它们相加，得3 裂项相消法题4 (2016年高考天津卷理科第18题)已知是各项均为正数的等差数列，公差为.对任意的，是和的等比中项.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，求证：.解 (1)可得，所以 所以数列是等差数列.(2)可得，还可得式在这里也成立，所以所以4 分组求和法题5 求解 设，得所以本题即求数列的前项和：题6 (2016年高考天津卷文科第18题)已知an
3、是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和解 (1)设等比数列的公比为，可得，解得或.又由知，所以，解得.得数列an的通项公式是.(2)由题意，可得所以数列的前项和为题7 (2016年高考浙江卷文科第17题)设数列的前项和为.已知，.（1）求通项公式；（2）求数列的前项和.解 (1)可得，解得.由，可得， .又因为，所以可得数列的通项公式为.(2)得bn|ann2|=|3n1n2|，所以b12，b21.当n3时，由于3n1n2，所以bn3n1n2(n3).设数列b
4、n的前n项和为Tn，得T12，T23.当n3时，可得Tn3进而可得Tn题8 (2016年高考四川卷文科第19题)已知数列的首项为，为数列的前项和，其中，.（1）若，成等差数列，求数列的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求.解 (1)由Sn1qSn1，Sn2qSn11(nN*)，两式相减得an2qan1(nN*).又由S2qS11，可得a2qa1，所以an+1qan(nN*).得数列an是首项为1，公比为q的等比数列，所以anqn1.再由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3即a32a2，得q2.所以数列an的通项公式是an2n1(2)在(1)的解答中已得anqn1，所以双
5、曲线x21的离心率由e22，解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1)5 错位相减法题9 (2016年高考山东卷理科第18题即文科第19题)已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和.解 (1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.又因为a1S111，所以an6n5N*).设等差数列bn的公差为d.可得即解得所以bn3n1.(2)由(1)的解答，可得cn3(n1)2n1.又由Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2把它们相减，得Tn322223242n1(n1)2n2
6、34(n1)2n2 3n2n2所以Tn3n2n2.6 待定系数法题10 数列的前项和 解 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得 先用错位相减法求数列的前项和：所以有下面的结论成立：若分别是等差数列、等比数列(其公比)，且均是与无关的常数，则数列的前项和，其中是与无关的常数由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设(其中是常数)可得，所以，解得，所以题11 求和解 得用待定系数法可求出该等式的右边为，所以七、求导法、积分法题12 (1)求证：；(2)求证：；(3)求数列的前项和解 (1)当时，显然成立当时，由等比数列的前项和公式知，欲证结论也成立(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立(3)在(2)的结论中令，得数列的前项和为；又因为数列的前项和为所以数列的前项和为题13 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式R)的两边对x求导，得由求导法则，得，化简后得等式(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式R，整数证明：(2)对于整数，求证：(i)； (ii)； (iii)答案：(1)在已知等式两边对求导后移项可得欲证(2) (i)在结论(1)中令可证(ii)由已知等式两边对求导后再求导，又令，得，即，再由结论(i)得结论(ii)成立(iii)在已知等式两边在0,1上对积分后可得欲证
