1、第二部分专题三第3讲专题训练十三空间向量与立体几何一、选择题1(2020江苏模拟)若向量a(2，3,1)和b(1，x,4)满足条件ab0，则x的值是(D)A1B0C1D2【解析】因为a(2，3,1)和b(1，x,4)满足条件ab0，即23x40x2；故选D2(2020衡阳模拟)空间点A(x，y，z)，O(0,0,0)，B(，2)，若|AO|1，则|AB|的最小值为(B)A1B2C3D4【解析】空间点A(x，y，z)，O(0,0,0)，B(，2)，|AO|1，A是以O为球心，1为半径的球上的点，B(，2)，|OB|3|AB|的最小值为：|OB|OA|312故选B3(2020池州模拟)已知MN是正
2、方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为(B)A0,4B0,2C1,4D1,2【解析】以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1，所以()()()()210,2所以的取值范围是0,2故选B4(2020肥城市模拟)已知a(x，4,2)，b(3，y，5)，若ab，则x2y2的取值范围为(C)A2，)B3，)C4，)D5，)【解析】ab，ab3x4y100，原点到直线的距离d2则x2y2的取值范围为4，)故选C5(2020东湖区校
3、级一模)如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是(A)AabcBabcCabcDabc【解析】由题意，()abc，故选A6(2020西城区校级模拟)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为(B)ABCD1【解析】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形是ABD，此四面体在xOy坐标平
4、面上的正投影图形的面积为：SABD11.故选B二、填空题7(2020西湖区校级模拟)已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，且a，b同向，则x，y的值x_1_，y_3_.【解析】a，b同向，存在实数k0，使得kab.解得：x1，y3，k18(2020西湖区校级模拟)设平面的法向量为n1(1，2,2)，平面的法向量为n2(2，4)，若，则|n2|_3_.【解析】平面的法向量为n1(1，2,2)，平面的法向量为n2(2，4)，若，则n1n2，n1n22280，5，n2(2,5,4)，|n2|3.9(2019西湖区校级模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，若点A(1,2,1)，B(3，1,4)
5、，点C是点A关于平面xOy的对称点，则|BC|_5_.【解析】依题意，点C是点A关于平面xOy的对称点，所以C点坐标为(1,2，1)，所以|BC|5.10(2020闵行区校级模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足mnk，其中m、n、kR，且mnk1，则点P可以是正方体表面上的点_线段AB1，B1C，AC上的点_.【解析】因为点P满足mnk，其中m、n、kR，且mnk1，所以点A，M，N三点共面，又因为M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，所以CNB1N，AMMC，连接MN，AB1，则MNAB1，所以AB1C即为经过A，M
6、，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点三、解答题11(2020海口调研)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACAB，ACAB4，AA16，点E，F分别为CA1与AB的中点(1)证明：EF平面BCC1B1；(2)求B1F与平面AEF所成角的正弦值【解析】(1)证明：如图，连接AC1，BC1在三棱柱ABCA1B1C1中，E为AC1的中点又因为F为AB的中点，所以EFBC1又EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，所以EF平面BCC1B1(2)以A1为原点建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，则A(0,0,6)，B1(0
7、,4,0)，E(2,0,3)，F(0,2,6)，所以(0，2,6)，(2,0，3)，(0,2,0)设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，则，令x3，得n(3,0,2)记B1F与平面AEF所成角为，则sin |cos，n|.12(2019滨州二模)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，B1BC60，B1C1AB1(1)证明：ABAC；(2)若ABAC，且AB1BB1，求二面角A1CB1C1的余弦值【解析】(1)证明：取BC的中点O，连接AO，OB1因为BCBB1，B1BC60，所以BCB1是等边三角形，所以B1OBC，又BCB1C1，B1C1AB1，所以BCAB1，所以BC平面AOB1
8、，所以BCAO，由三线合一可知ABC为等腰三角形，所以ABAC.(2)设AB1BB12，则BCB1C2因为ABAC，所以AO1又因为OB1，所以OBAO2AB，所以AOOB1以O为坐标原点，向量的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，A1(1，1)，B1(0，0)，(0，1)，(1， ,0)，设平面A1B1C的法向量为n(x，y，z)，则，即，可取n(，1，)由(1)可知，平面CB1C1的法向量可取(0,0,1)，所以cos，n.又二面角A1CB1C1为锐二面角，所以二面角A1CB1C1的余弦值为.13(2020河北模拟)在四棱锥PAB
9、CD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且ABC，AB2，PA平面ABCD(1)若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC平面QBD；(2)当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长【解析】(1)证明：四边形ABCD是一个菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，则BD平面PAC，BD在平面QBD内，平面PAC平面QBD.(2)设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，设P(0，1，a)(a0)，则(，1,0)，(0，2，a)，设平面
10、PBC的一个法向量为m(x，y，z)，则，可取m(a，a,2)，同理可求平面PDC的一个法向量为n(a，a,2)，|cosm，n|，解得a22，PA.14(2020葫芦岛一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，ABBC，AA1ABBC2(1)求证：BC1平面A1B1C；(2)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；(3)点M在线段B1C上，且(0,1)，点N在线段A1B上，若MN平面A1ACC1，求的值(用含的代数式表示)【解析】(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面A1B1C1，BB1平面B1BCC1，平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为
11、B1C1，又ABBC，A1B1B1C1，A1B1平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，BB1BC2，B1CBC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C.(2)解：由(1)知BB1平面ABC，ABBC，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，B1(0,0,2)，(2,0，2)，(0，2，2)，cos，.异面直线B1C与A1B所成角的大小为.(3)解：A(0,2,0)，A1(0,2,2)，(2，2,0)，(0,0,2)，设平面ACC1A1的法向量n(x，y，z)，则，取x1，得n(1,1,0)，点M在线段B1C上，且(0,1)，M(2，0,22)，点N在线段A1B上，设，得N(0,22，22)，则(2，22，22)，MN平面A1ACC1，n2220，解得1.1.
