1、高中总复习二轮文数 第2讲 数列求和及简单应用 高中总复习二轮文数 热点突破高考导航备选例题高中总复习二轮文数 高考导航 演真题明备考 高考体验 1.(2012大纲全国卷,文6)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于()B(A)2n-1(B)132n (C)123n (D)112n 解析:法一 由 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)可知,3Sn=2Sn+1,即 Sn+1=32Sn,所以数列Sn是首项为 S1=1,公比为 32的等比数列,所以 Sn=132n,故选 B.高中总复习二轮文数 法二 由 Sn=2an+1 可知 a2=12S1=12,当 n2 时,Sn
2、-1=2an,-并化简得 an+1=32an(n2),即an从第二项起是首项为 12,公比为 32的等比数列,所以 Sn=a1+113122312n=1+132n-1=132n(n2),当 n=1 时,满足上式,故选 B.法三 特殊值法,由 Sn=2an+1及 a1=1,可得 a2=12S1=12,所以当 n=2 时,S2=a1+a2=1+12=32,观察四个选项得 B 正确,故选 B.高中总复习二轮文数 2.(2012新课标全国卷,文12)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为()(A)3 690(B)3 660(C)1 845(D)1 830 D 解析:因为
3、an+1+(-1)nan=2n-1,所以当 n=2k(kN*)时,a2k+1+a2k=4k-1,当 n=2k+1(kN)时,a2k+2-a2k+1=4k+1,+得 a2k+a2k+2=8k.令 k=1,3,5,29 可得 a2+a4=81,a6+a8=83,a10+a12=85,a58+a60=829,高中总复习二轮文数 把以上 15 个等式相加得 a2+a4+a6+a8+a60=8151292=1 800.由得 a2k+1=a2k+2-(4k+1),令 k=0,1,2,29 可得 a1=a2-(40+1),a3=a4-(41+1),a5=a6-(42+1),a59=a60-(429+1),把
4、以上 30 个等式相加得 a1+a3+a5+a59=a2+a4+a60-4(0+1+2+29)+30=1 800-（4 30 292+30）=30,所以 a1+a2+a60=1 800+30=1 830.故选 D.高中总复习二轮文数 3.(2013全国卷,文17)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;解:(1)设an的公差为 d,则 Sn=na1+12n n d.由已知可得11330,5105.adad 解得 a1=1,d=-1.故an的通项公式为 an=2-n.高中总复习二轮文数(2)求数列 的前n项和.21211nnaa解:(2)由(1)知2121
5、1nnaa=13212nn=12112321nn,从而数列21211nnaa的前 n 项和为 12（11-11+11-13+123n-121n）=12nn.高中总复习二轮文数 4.(2014全国卷,文17)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0 的根.(1)求an的通项公式;解:(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3.设数列an的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d=12,从而 a1=32.所以an的通项公式为 an=12n+1.高中总复习二轮文数(2)求数列 的前n项和.解:(2)设2nna的前 n 项和为 Sn,由(1)知2
6、nna=122nn,则 Sn=232+342+12nn +122nn,12Sn=332+442+112nn+222nn.两式相减得 12Sn=34+（312+112n）-222nn=34+14（1-112n）-222nn,所以 Sn=2-142nn.2nna高中总复习二轮文数 高考感悟 1.考查角度(1)以递推公式为背景求通项公式或前n项和,这类问题还常与函数的性质(如周期性质)综合命题.(2)以等差数列、等比数列为背景构造新数列,利用分组转化、裂项相消、错位相减法求和.(3)根据条件构造等差、等比数列,求通项公式或前n项和.2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题;中档题.高中总复习二轮文数
7、 热点突破 剖典例促迁移 求数列的通项公式 热点一【例1】(1)(2016湖南衡阳联考)已知数列an满足a1=1,an+1-2an=2n(nN*),则数列an的通项公式为an=.解析:(1)采用列举法得 a1=1,a2=4,a3=12,a4=32,然后从数字的变化上找规律,猜想得 an=n2n-1.因为 an+1-2an=2n112nna -2nna=12,所以2nna=2n an=n2n-1.答案:(1)n2n-1 高中总复习二轮文数(2)(2016河北石家庄二模)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,nN*,则an=.解析:(2)因为Sn=2an-4,所以n2时,Sn-1=2a
8、n-1-4,-得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,所以an=2an-1,即=2.又a1=S1=2a1-4,所以a1=4,所以数列an为首项为4,公比是2的等比数列,所以an=42n-1=2n+1.答案:(2)2n+1 高中总复习二轮文数 构造法求通项公式(1)本例(1)中,若将“an+1-2an=2n”改为“an+1-2an=2”,则an=.(2)本例(1)中,若将“an+1-2an=2n”改为“an+1=”,则an=.答案:(1)32n-1-2(2)123 21n【方法诠释】解决此类题目的关键是构造等比数列,进而求得an.高中总复习二轮文数【方法技巧】(1)利用
9、Sn与an的关系求通项公式:通过纽带:an=Sn-Sn-1(n2),消掉an或Sn求解.如需消掉Sn,可以利用已知递推式,把n换成(n+1)得到新递推式,两式相减即可.若要消掉an,只需把an=Sn-Sn-1代入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式an=Sn-Sn-1成立的条件n2.因此要验证n=1是否成立,若不成立写成分段形式.(2)由递推关系求通项公式的三种类型及方法:对形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推式求通项公式时,常用累加法,巧妙求出an-a1与n的关系式.对形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推式求通项公式时,常用累乘法,巧妙求出 与n的
10、关系式.对形如an+1=kan+b(k1,b0)(其中k,b为常数)的递推式求通项公式时,可以构造等比数列 ,先求出该等比数列的通项公式,再求an.1naa1nbak高中总复习二轮文数 热点训练:(1)(2016安徽省“江南十校”联考)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若存在唯一的正整数n使得不等式 -tan-2t20成立,则实数t的取值范围为 .解析:(1)n2 时,an=Sn-Sn-1=12nna-12nna ,整理得nan=11nan,又 a1=1,故 an=n.不等式2na-tan-2t20 可化为 n2-tn-2t20.设 f(n)=n2-tn-2t2,
11、由于 f(0)=-2t20,由题意可得 221120,24220,fttftt 解得-2t-1 或 12t1.2na答案:(1)(-2,-1 1,12高中总复习二轮文数(2)已知正项数列an满足 a1=1,(n+2)21na -(n+1)2na+anan+1=0,则 an=.解析:(2)由(n+2)21na -(n+1)2na+anan+1=0,得(n+2)21nnaa+1nnaa=n+1,所以1nnaa=12nn.又 a1=1,则 an=1nnaa 12nnaa21aa a1=1nn 1nn 231=21n.故数列an的通项公式为 an=21n.答案:(2)21n 高中总复习二轮文数 数列求
12、和 热点二 考向1 分组求和法【例2】已知数列an的前n项和为Sn,且满足an=2-3Sn(nN*).(1)求数列an的通项公式;解:(1)当 n2 时,由 an=2-3Sn,得 an-1=2-3Sn-1,-得 4an=an-1,而当 n=1 时,a1=2-3a1,故 a1=12,因而数列an是首项为 12、公比为 14的等比数列,其通项公式为an=12（14）n-1=（12）2n-1,nN*.高中总复习二轮文数 解:(2)由(1)知 an=（12）2n-1,故 bn=1-2n.数列an+bn的前 n 项和 Tn=a1+b1+a2+b2+an+bn=(a1+an)+(b1+bn)=111241
13、14n+1 122n n =23-n2-23（14）n,nN*.(2)设bn=log2an,求数列an+bn的前n项和Tn.高中总复习二轮文数 考向2 裂项相消法 解:(1)设an的公差为 d,则由题知 11112436,3 239,2adadadad解得10,3da(舍去)或11,2,da 所以 an=2+(n-1)1=n+1.【例3】(2016四川绵阳质检)设Sn为各项不相等的等差数列an的前n项和,已知a3a5=3a7,S3=9.(1)求数列an的通项公式;高中总复习二轮文数(2)设 Tn为数列11nna a 的前 n 项和,求1nnTa 的最大值.解:(2)因为11nna a=112n
14、n=11n-12n,所以 Tn=121a a+231a a+11nna a=1123+1134+1112nn=12-12n=22nn,所以1nnTa=222nn=2244nnn=1424nn142 42 n n=116,当且仅当 n=4n,即 n=2 时“=”成立,即当 n=2 时,1nnTa 取得最大值 116.高中总复习二轮文数 考向3 错位相减法 解:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*),所以11nnab-nnab=2,即 cn+1-cn=2.所以数列cn是以首项 c1=1,公差 d=2 的等差数列,故 cn=2n-1.【例4】(2014江西卷,理
15、17)已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0,nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列cn的通项公式;nnab高中总复习二轮文数(2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn.解:(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列an前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.高中总复习二轮文数【方法技巧】(1)错位相减法适用于由
16、一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和.(2)裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和.适用于数列1nnca a 的求和,其中an是各项不为 0 的等差数列,c为常数.常用裂项公式:11n n=1n-11n;1n nk=1k（1n-1nk）;高中总复习二轮文数(3)分组求和法:适用于由等差数列和等比数列的和(或差)构成的数列.112n nn=12 11n n-112nn;1!nn=1!n-11!n;11nn=1n-n;若an是公差为 d 的等差数列,则11nna a=1d(1na-11na).高中总复习二轮文数 数列的综合问题 热点三 解:(1)
17、等差数列an的首项 a1=12,前三项和为 92,a2=32,等差数列an的公差 d=1,故 an=n-12,即数列an的通项公式为 an=n-12;点 Pn(an,bn)在函数 y=log32x 的图象上,则 bn=log32an=log3(2n-1),即数列bn的通项公式为 bn=log3(2n-1).【例 5】(2016天津一模)等差数列an的首项 a1=12,前三项和为 92,点Pn(an,bn)(nN*)在函数 y=log32x 的图象上.(1)求数列an和bn的通项公式;高中总复习二轮文数(2)若cn=+2n,求数列cn的前n项和Sn.解:(2)cn=3 nb+2n=2n-1+2n
18、,Sn=1+3+5+(2n-1)+(21+22+2n)=1212nn+2 1212n=n2+2n+1-2,数列cn的前 n 项和 Sn=n2+2n+1-2.3 nb【方法技巧】(1)解决数列与不等式综合问题的常用方法有比较法(作差法、作商法)、放缩法等.(2)数列是特殊的函数,解题时要充分利用函数的性质解决数列问题,如数列中的最值问题.高中总复习二轮文数 备选例题 挖内涵寻思路【例 1】(2016河南郑州三模)已知函数 f(x)=21,0,21,0,xxf xx把函数g(x)=f(x)-12x 的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n项的和为 Sn,则 S10等于()(A)45
19、(B)55(C)90(D)110 高中总复习二轮文数 解析:当 0 x2 时,有-2x-20,则 f(x)=f(x-2)+1=2x-2,当 2x4 时,有 0 x-22,则 f(x)=f(x-2)+1=2x-4+1,当 4x6 时,有 2x-24,则 f(x)=f(x-2)+1=2x-6+2,当 6x8 时,有 4x-26,则 f(x)=f(x-2)+1=2x-8+3,以此类推,当 2nx2n+2(其中 nN)时,f(x)=f(x-2)+1=2x-2n-2+n,所以函数 f(x)=2x的图象与直线 y=12x+1 的交点为(0,1)和（-1,12）,由于指数函数 f(x)=2x为增函数且图象下
20、凸,故它们只有这两个交点.将函数 f(x)=2x和 y=12x+1 的图象同时向下平移一个单位,即得到函数 f(x)=2x-1和 y=12x 的图象,取 x0 的部分,可见它们有两个交点(0,0),（-1,-12）.即当 x0 时,方程 f(x)-12x=0 有两个根 x=-1,x=0;高中总复习二轮文数 当 0 x2 时,由函数图象平移可得 g(x)=f(x)-12x 的零点为 1,2;以此类推,函数 y=f(x)与 y=12x 在(2,4,(4,6,(2n,2n+2上的零点分别为 3,4;5,6;2n+1,2n+2.综上所述函数 g(x)=f(x)-12x 的偶数零点按从小到大的顺序排列所
21、得数列为0,2,4,其通项公式为 an=2(n-1),前 10 项的和为 S10=100+10 9 22=90.故选 C.高中总复习二轮文数【例 2】(2016天津二模)已知数列an的前 n 项和 Sn=-an-（12）n-1+2(nN*),数列bn满足 bn=2nan.(1)求证数列bn是等差数列,并求数列an的通项公式;(1)证明:因为 Sn=-an-112n+2(nN*),当 n2 时,Sn-1=-an-1-212n+2(nN*),所以 an=Sn-Sn-1=-an+an-1+112n,化为 2nan=2n-1an-1+1.因为 bn=2nan,所以 bn=bn-1+1,即当 n2 时,
22、bn-bn-1=1.令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,得 a1=12.又 b1=2a1=1,所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.于是 bn=1+(n-1)1=n=2nan,所以 an=2nn.高中总复习二轮文数(2)解:因为 cn=log2nna=n,所以22nnc c=1n-12n,所以 Tn=（1-13）+（12-14）+（1n-12n）=1+12-11n-12n,由 Tn 2521,得 1+12-11n-12n 1342,因为 f(n)=11n+12n 单调递减,f(4)=1130,f(5)=1342,所以 n 的最大值为 4.(2)设 cn=log2nna,数列2
23、2nnc c 的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn1时,有an+n=2an-1+2.(1)证明:数列an-n是等比数列,并求数列an的通项公式及其前n项和Sn;高中总复习二轮文数(2)解:因为21nb+b2n=-(2n-1+22n-1)+(2n+22n)=22n-1+1,所以当 n 为偶数时,Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+(bn-1+bn)=(2+1)+(8+1)+(2n-1+1)=22 1414n+2n=23(2n-1)+2n.当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+bn=23(2n-1-1)+12n -(n+2n)=-23(2n+1)-12n =-13 2n+1-2n-76;综上所述,Tn=-12 21,32172,326nnn nnn为偶数，为奇数.(2)若数列bn满足bn=(-1)nan,试求数列bn的前n项和Tn.高中总复习二轮文数 点击进入 限时训练
