1、2015-2016学年福建省福州市连江县尚德中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z=3+，则=（）A3iB23iC3+iD2+3i2已知条件p：|x4|6；条件q：（x1）2m20（m0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A21，+）B9，+）C19，+）D（2015秋菏泽期末）已知函数f（x）=，则函数y=f（x）+x4 的零点个数为（）A1B2C3D44曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）AB4e2C2e2De25设an是公差不为零的等
2、差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A10B5C0D56函数y=的图象大致为（）ABCD7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+168若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为（）ABCD9如果实数x、y满足关系，则（x2）2+y2的最小值是（）A2B4CD10如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD11已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a
3、）Df（log2a）f（2a）f（3）12已知函数f（x）=ln（x+2），（a为常数且a0），若f（x）在x0处取得极值，且x0e+2，e2+2，而f（x）0在e+2，e2+2上恒成立，则a的取值范围是（）Aae4+2e2Bae4+2e2Cae2+2eDae2+2e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13若，均为非零向量，且（2），（2），则向量，的夹角为14将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则=15经过点P（3，1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是16等比数列
4、an的公比为q，其前n项积为Tn，并且满足条件，给出下列结论：0q1；a99a10110；T100的值是Tn中最大的；使Tn1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是三、解答题：（70分）17已知等差数列an满足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an的前n项和（）求数列an的通项公式；（）若kN*，bn为等比数列且b1=ak，b2=a3k，b3=S2k，求数列anbn的前n项和Tn18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值19在ABC中
5、，a，b，c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2B=（1）求cosB；（2）若AB=2，点D是线段AC中点，且BD=，若角B大于60，求DBC的面积20如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了an个单位，此时质点的位置为（Cn，0）（）求an，Cn的表达式；并求数列的前n项和Sn（）当n为何值时，tanACnB取得最大，最大值为多少？21已知函数f（x）=2lnxx2+ax（aR）（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜
6、率为1，且不等式f（x）2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0x1x2，求证：（其中f（x）是f（x）的导函数）请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡要写上把所选题目的题号（2009辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程选修4-5：不等式选讲23=|x1|+|xa|（1）若a=1，解不等式f（x）3（2）如果xR，
7、f（x）2，求a的取值范围2015-2016学年福建省福州市连江县尚德中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z=3+，则=（）A3iB23iC3+iD2+3i【分析】直接利用复数的除法运算法则化简复数，然后求出共轭复数【解答】解：复数z=3+=3+=3+=3i复数的共轭复数为：3+i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题2已知条件p：|x4|6；条件q：（x1）2m20（m0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（
8、）A21，+）B9，+）C19，+）D2m20（m0）的解集Q，满足PQ，构造不等式组，解不等式组即可得到答案【解答】解：由已知，P：2x10，q：1mx1+m，因为p是q的充分不必要条件，则2，101m，1+m，即，故选B【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的
9、关系3已知函数f（x）=，则函数y=f（x）+x4 的零点个数为（）A1B2C3D4【分析】由题意，判断此函数的零点个数可转化为两个函数y=x+4，与y=f（x）的交点个数，结合两个函数的图象得出两函数图象的交点个数，即可得到原函数零点的个数【解答】解：函数y=f（x）+x4的零点即是函数y=x+4与y=f（x）的交点的横坐标，由图知，函数y=x+4与y=f（x）的图象有两个交点故函数y=f（x）+x4的零点有2个故选：B【点评】本题考查函数的零点的定义及其个数的判断，解题的关键是理解函数的零点定义，依据定义将求零点个数的问题转化为两个函数交点个数的问题4曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标
10、轴所围三角形的面积为（）AB4e2C2e2De2【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积【解答】解：曲线y=，y=，切线过点（4，e2）f（x）|x=4=e2，切线方程为：ye2=e2（x4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=e2，与y轴的交点为：（0，e2），曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=2|e2|=e2，故选D【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题5设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（
11、）A10B5C0D5【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题6函数y=的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可【解答】解：由lnx0得，x0且x1，当0x1时，lnx0，此时y0，排除B，C，函数的导数f（x）=，由f（x）0得lnx1，即xe此时函数单调递增，由
12、f（x）0得lnx1且x1，即0x1或1xe，此时函数单调递减，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性极值等函数特点是解决本题的关键7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+16【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，半圆柱的体积为：224=8；长方体的长宽高分别为4，2，2，长方体的体积为422=16，该几何体的体积为V=16+8故选：A【
13、点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目8若（，）且3cos2=4sin（），则sin2的值为（）ABCD【分析】由条件化简可得 3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，从而解得sin2的值【解答】解：（，），且3cos2=4sin（），3（cos2sin2）=4（cossin），化简可得：3（cos+sin）=2，平方可得1+sin2=，解得：sin2=，故答案为：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题9如果实数x、y满足关系，则（x2）2+y2的最小值是（）A2B4CD【分析】作出不
14、等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定（x2）2+y2的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x2）2+y2，则z的几何意义是区域内的点到点D（2，0）的距离的平方，由图象知，当以D为圆心的圆和直线AB：xy=0相切时，此时区域内的点到D的距离最小，此时最小值d=，则x2）2+y2的最小值z=d2=2，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决线性规划题目的常用方法10如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是
15、=（3x）|=；故选C【点评】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算11已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）【分析】由f（x）=f（4x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf（x）2f（x），可知f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案【解答】解：函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x）
16、，f（x）关于直线x=2对称；又当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x）f（x）（x2）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当x2时，f（x）在（，2）单调递减；2a4，1log2a2，24log2a3，又42a16，f（log2a）=f（4log2a），f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log2a）f（3）f（2a）故选C【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性是关键，属于中档题12已知函数f（x）=ln（x+2），（a为常数且a0），若f（x）在x0处取得极值，且x0e+2，e2+2，而f（
17、x）0在e+2，e2+2上恒成立，则a的取值范围是（）Aae4+2e2Bae4+2e2Cae2+2eDae2+2e【分析】先求导函数，求得极值点，确定函数的单调性，要使f（x）0在e+2，e2+2上恒成立，只需或，由此可求a的取值范围【解答】解：求导数可得，令f（x）=0，可得x0=1函数在（，1）上单调减，在（1，1+）上单调增，在（1+，+）上单调减f（x）在x0处取得极值，且x0e+2，e2+2，函数在区间e+2，e2+2上是单调函数或ae4+2e2a的取值范围是ae4+2e2，故选B【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每
18、小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13若，均为非零向量，且（2），（2），则向量，的夹角为【分析】根据（2），（2），由两向量垂直数量积为0，可得|=|=，代入向量夹角公式，可得答案【解答】解：（2），（2）=02=2即|=又（2），（2）=02=2即|=令向量，的夹角为则cos=，又由0，故=故答案为：【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式cos=是解答的关键14将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则=【分析】由题意利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得f（x）=sin
19、（x+），从而求得f（）的值【解答】解：将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得y=sin（2x+）的图象；再把图象向右平移个单位长度得到y=sin2（x）+=sin（2x+）的图象再根据所得图象为 y=sinx，求得=，且 =，f（x）=sin（x+），则=sin（+）=sin=【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题15经过点P（3，1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是x+2y1=0或x+3y=0【分析】设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，当a0时，a=2b，由此利
20、用题设条件能求出直线l的方程【解答】解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，此时直线l过点P（3，1），O（0，0），直线l的方程为：，整理，得x+3y=0；当a0时，a=2b，此时直线l的斜率k=，直线l的方程为：y+1=（x3），整理，得x+2y1=0故答案为：x+2y1=0或x+3y=0【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解16等比数列an的公比为q，其前n项积为Tn，并且满足条件，给出下列结论：0q1；a99a10110；T100的值是Tn中最大的；使Tn1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是【分析】利用等比数列
21、的性质及等比数列的通项公式判断出正确；利用等比数列的性质及不等式的性质判断出正确；利用等比数列的性质判断出错误；利用等比数列的性质判断出正确【解答】解：中（a991）（a1001）0，a11，a99a1001，a991，0a1001q=（0，1），正确中a99a101=a1002a1001a99a1011，正确中T100=T99a100，0a1001T100T99，错误中T198=a1a2a198=（a1a198）（a2a197）（a99a100）=（a99a100）991，T199=a1a2a199=（a1a199）（a2a198）（a99a101）a1001，正确答案：【点评】在解决等比数
22、列的项与项的关系时，常利用等比数列的性质：若m+n=p+q则有aman=apaq三、解答题：（70分）17已知等差数列an满足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an的前n项和（）求数列an的通项公式；（）若kN*，bn为等比数列且b1=ak，b2=a3k，b3=S2k，求数列anbn的前n项和Tn【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（II）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出【解答】解：（）设数列an的公差为d，由条件得（）由（）易得，得9k2=kk（2k+1）解得k=4b1=ak=4，b2=a3k=12，b3=S2k=36，bn为等
23、比数列，（1）（2）得，【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值【分析】（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1AB，AB平面OA1C，进而可得ABA1C；（）易证OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立坐标系，可得，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，
24、可解得=（，1，1），可求|cos，|，即为所求正弦值【解答】解：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B为等边三角形，所以OA1AB，又因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），则=（1，0，），=（1，0）
25、，=（0，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题19在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2B=（1）求cosB；（2）若AB=2，点D是线段AC中点，且BD=，若角B大于60，求DBC的面积【分析】（1）利用4sin2cos2B=，化简求cosB；（2）确定cosB=，设BC=a，AD=DC=x，则AC=2x
26、，ABC中，由余弦定理可得4x2=4+a2x，ABD和DBC中，cosADB=cosCDB，可得4x22a2=9，求出AC，即可求DBC的面积【解答】解：（1）4sin2cos2B=，9cos2B9cosB+2=0，cosB=或cosB=；（2）角B大于60，cosB=设BC=a，AD=DC=x，则AC=2x，ABC中，由余弦定理可得4x2=4+a2aABD和DBC中，由余弦定理可得cosADB=，cosCDB=，ADB+BDC=180，cosADB=cosCDB，=，4x22a2=9，由可得a=3，x=，AC=3，SDBC=SABC=【点评】本题考查二倍角公式的运用，考查余弦定理，考查三角形
27、面积的计算，属于中档题20如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了an个单位，此时质点的位置为（Cn，0）（）求an，Cn的表达式；并求数列的前n项和Sn（）当n为何值时，tanACnB取得最大，最大值为多少？【分析】（）由题意an是等差数列，从而可得an=2n1，Cn=n=n2；化简，从而利用裂项求和法求得（）由（）知，从而可得【解答】解：（）由题意得，an=2n1，Cn=n=n2；，；（）由（）知，；（当且仅当n=3时取等号）；
28、即当n=3时，tanACnB取得最大为【点评】本题考查了等差数列的判断与应用，同时考查了裂项求和法的应用及两角差的正切公式的应用21已知函数f（x）=2lnxx2+ax（aR）（1）若函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率为1，且不等式f（x）2x+m在上有解，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0x1x2，求证：（其中f（x）是f（x）的导函数）【分析】（1）通过求导得到函数f（x）的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m2lnxx2，利用导数求出g（x）=2lnxx2在上的最大值得
29、答案；（2）由f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），可得方程2lnxx2+ax=0的两个根为x1，x2，把两根代入方程后作差得到，求得，然后令换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案【解答】（1）解：由，得切线的斜率k=f（2）=a3=1，a=2，故f（x）=2lnxx2+2x，由f（x）2x+m，得m2lnxx2，不等式f（x）2x+m在上有解，m（2lnxx2）max 令g（x）=2lnxx2，则，x，故g（x）=0时，x=1当时，g（x）0；当1xe时，g（x）0故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，m1；（2）证明：f（
30、x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），方程2lnxx2+ax=0的两个根为x1，x2，则，两式相减得，又，则，要证，即证明，0x1x2，0t1，即证明在0t1上恒成立，又0t1，u（t）0，u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）u（1）=0，从而知故，即成立【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查通过研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡要写上把所选题目的题号（2009辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（
31、）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得（2）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可【解答】解：（）由从而C的直角坐标方程为即=0时，=2，所以M（2，0）（）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，（，+）【点评
32、】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化选修4-5：不等式选讲23=|x1|+|xa|（1）若a=1，解不等式f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求a的取值范围【分析】（1）若a=1，由绝对值的意义求得不等式f（x）3的解集（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a1|，可得|a1|=2，由此求得a的值【解答】解：（1）若a=1，函数f（x）=|x1|+|xa|=|x1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、1对应点的距离之和，而1.2和 1.5 对应点到1、1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）3的解集为x|1.5，或 x1.5（2）由于xR，f（x）2，故函数f（x）的最小值为2函数f（x）=|x1|+|xa|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a1|，即|a1|=2，求得a=3 或a=1【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于中档题
