1、选修45不等式选讲A第1讲不等式、含有绝对值的不等式最新考纲1理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法.知 识 梳 理1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab| |a|b|，当且仅当ab0时，等号成立；(2)性质：|a|b|ab|a|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa，或x0)和|axb|c(c0
2、)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想诊 断 自 测1不等式1|x1|3的解集为_解析数轴上的点到1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集答案(4，2)(0,2)2设ab0，下面四个不等式中，正确命题的序号是_|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|.解析ab0，a，b同号，|ab|a|b|，和正确
3、答案3不等式|x8|x4|2的解集为_解析令：f(x)|x8|x4|当x4时，f(x)42；当4x8时，f(x)2x122，得x5，4x5；当x8时，f(x)42不成立故原不等式的解集为：x|x5答案x|x54(2012山东卷)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析|kx2|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案25已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.答案(，1)考点一含绝对值不等式的解法【例1】 解不等式|x1|x2|5.解法一如图，设数轴上与2,1对应的
4、点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数显然，区间2,1不是不等式的解集把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，)法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集为(，32，)法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示由图象可知，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)规律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应
5、方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解【训练1】 解不等式|x3|2x1|1.解当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)1，解得x2，x2.综上可知，原不等式的解集为.
6、考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】 已知不等式|x1|x3|a.分别求出下列情形中a的取值范围(1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为.解法一因为|x1|x3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(1)，B(3)距离的差，即|x1|x3|PAPB.由绝对值的几何意义知，PAPB的最大值为AB4，最小值为AB4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值还小，即a4.(3)若不等式的解集为，a只要不小于|x1|x3|的最大值即可，即a4.法二由|x1|x3|
7、x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集为R，则a4；(3)若不等式解集为，则a4.规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集的对立面(如f(x)m的解集是空集，则f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.【训练2】 设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)
8、0的解集为x|x1，求a的值解(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3，或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.考点三含绝对值的不等式的应用【例3】 (2013新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,
9、2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化为1ax3，所以xa2对x都成立，应有a2，则a，从而实数a的取值范围是.规律方法 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集【训练3】 (2012新课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x
10、53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1，或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围是3,0.绝对值三角不等式的应用【典例】 (2013福建卷)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值审题视点(1)利用条件A，A，建立不等式，求a的值；(2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解解(1)A，A.a，且a，因此a，又aN*，从而a
11、1.(2)由(1)知，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时等号成立故f(x)的最小值为3.反思感悟本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解【自主体验】1若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析当a0时，显然成立；当a0时，|x1|x3|的最小值为4，a4.a2.综上可知a的取值范围是(，0)2答案(，0)22(2012陕西卷)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范
12、围是_解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案2,4一、填空题1不等式|2x1|3的解集为_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2不等式|2x1|x2|0的解集为_解析法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.原不等式解集为x|1x0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.故k的取值范围是1，)12设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围解(1)当a1时
13、，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函数f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式f(x)3的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(x)f(x)的最小值为1a；若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.对于xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，a的取值范围是(，13，)第2讲不等式的证明最新考纲了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式知 识 梳 理1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，
14、则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则()()(ibi)2，当且仅当(当ai0时，约定bi0，i1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当，共线时等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等诊 断 自 测1已知a、b、m均为正数，且ab，M，N，则M、N的大小
15、关系是_解析MN0，即MN.答案MN2设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_解析分子有理化得a，b，c，abc.答案abc3若0ab1，则ab,2，a2b2,2ab中最大的一个是_解析ab2，a2b22ab.又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.答案ab4已知x，yR，且xy1，则的最小值为_解析24.答案45若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为_解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.答案考点一分析法证明不等式【例1】 设a，b，c0，且abbcca1.求证：
16、(1)abc.(2) ()证明(1)要证abc ，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明 .即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca.原不等式成立规律方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间
17、的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆【训练1】 已知a、b、c均为正实数，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)证明a、b、cR，且abc1，要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ca)(ab)2 0，(ab)(bc)2 0.(bc)(ca)2 0，三式相乘得式成立，故原不等式得证考点二用综合法证明不等式【例2】 已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)ab1，
18、a0，b0，22244 48.8.(2)1，由(1)知8.9.规律方法 利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式【训练2】 已知a，b，cR，且互不相等，且abc1，求证：.证明法一a，b，cR，且互不相等，且abc1，.法二22；22；22.以上三式相加，得 .又a，b，c互不相等，.法三a，b，c是不等正数，且abc1，bccaab.考点三利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(2013湖北卷)设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.(2)已知x、y、zR，且xyz1，则：的最小值为_解析(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122232)
19、(x2y3z)2，(x2y3z)214，则x2y3z，又x2y3z，x，因此x，y，z，于是xyz.(2)法一利用柯西不等式由于(xyz)236.所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立法二(xyz)(xyz)(xyz)1414461236.当且仅当y2x，z3x，即x，y，z时，等号成立答案(1)(2)36规律方法 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式【训练3】 (2013湖南卷)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析法一(xyz)2x2y2z22x
20、y2yz2zx3(x2y2z2)，a24b29c2(a2b3c)212.a24b29c2的最小值为12.法二由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，从而a24b29c2的最小值为12.答案12利用算术几何平均不等式求最值【典例】 已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立审题视点(1)a2b2c2，分别用算术几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术几何平均不等式的条件解因为a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式得a2b2c23(abc)3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(
21、abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立反思感悟(1)利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错【自主体验】设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明因为a，b，c是正实数，由算术几何平均不等式可得3，即.所以abcabc.而abc22，当且仅当abc且
22、abc时，取等号所以abc2.一、填空题1(2013江苏卷改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M、N的大小关系为_解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN2已知xy1，那么2x23y2的最小值是_解析由柯西不等式(2x23y2)2(xy)21，2x23y2，当且仅当2x3y，即x，y时，等号成立答案3若直线3x4y2，则x2y2的最小值为_，最小值点为_解析由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x
23、4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时等号成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.答案4若a，b均为正实数，且ab，M，N，则M、N的大小关系为_解析ab，2，2，22，.即MN.答案M N5设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值为_解析(abc)()2()2()2218.2.的最小值为2.答案26已知a，b，c为正实数，且a2b3c9，则的最大值为_解析 ，故最大值为.答案7(2013陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(a
24、cbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.答案28已知x22y23z2，则3x2yz的最小值为_解析(x22y23z2)(3xyz)2(3x2yz)2，当且仅当x3y9z时，等号成立(3x2yz)212，即23x2yz2.当x，y，z时，3x2yz2，最小值为2.答案29已知a，b，cR，且abc1，则的最大值为_解析法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.法二利用柯西不等式(121
25、212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1，()218，3.当且仅当时，等号成立()max3.答案3二、解答题10设a，b，c为正数，且abc1，求证：9.证明法一a，b，c均为正数，1abc3.又3，1339.即9.法二构造两组数：， ， ；，.因此根据柯西不等式有()2()2()22.即(abc)329.(当且仅当，即abc时取等号)又abc1，所以9.11设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.12(2012福建卷)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.
