1、第1讲等差数列、等比数列的基本问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级.真 题 感 悟1.(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a1a3，S510，则a9的值是_.解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.答案202.(2015江苏卷)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_.解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上n1个式子相加得an
2、a123n，即an，令bn，故bn2，故S10b1b2b102.答案3.(2010江苏卷)函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.解析在点(ak，a)处的切线方程为：ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1，故an是a116，q的等比数列，即an16，a1a3a5164121.答案214.(2013江苏卷)在正项等比数列an中，a5，a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_.解析设数列an的公比为q(q0)，由已知条件得qq23，即q2q60，解得q2，或q3(舍去)，ana5qn52
3、n52n6，a1a2an(2n1)，a1a2an2524232n62，由a1a2ana1a2an，可知2n5252，由2n5252，可求得n的最大值为12，而当n13时，2825213，所以n的最大值为12.答案12考 点 整 合1.等差数列(1)通项公式：ana1(n1)d，(2)求和公式：Snna1d，(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：ana1qn1(q0)；(2)求和公式：q1，Snna1；q1，Sn；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq
4、；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，(Sm0)成等比数列.3.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明.(2)利用前n 项和与通项的关系an(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列an中，满足an1anf(n)，把原递推公式转化为an1anf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法：在已知数列an中，满足an1f(n)an，把原递推公式转化为f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法：在已知数列an中，满足an1panq(其中p，q均为
5、常数，pq(p1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再利用换元法转化为等比数列求解.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】 (1)(2016全国卷改编)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100_.(2)(2016连云港调研)在等差数列an中，a53，a62，则a3a4a8_.(3)(2015湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_.解析(1)由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98.(2)根据等差数列性质计算.因为an是等差数列，所以a3a4a
6、83(a5a6)3.(3)由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.答案(1)98(2)3(3)3n1探究提高(1)等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a1和公差d(公比q)，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量.(2)在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.【训练1】 (1)(2014江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_.(2)(2016北京东城区模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm1
7、1，Sm121，则m等于_.(3)(2015潍坊模拟)在等比数列an中，公比q2，前87项和S87140，则a3a6a9a87_.解析(1)因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.(2)由已知得SmSm1am16，Sm1Smam132，故公比q2，又Sm11，故a11，又ama1qm116，代入可求得m5.(3)法一a3a6a9a87a3(1q3q6q84)a1q214080.法二设b1a1a4a7a85，b2a2a5a8a86，b3a3a6a9
8、a87，因为b1qb2，b2qb3，且b1b2b3140，所以b1(1qq2)140，而1qq27，所以b120，b3q2b142080.答案(1)4(2)5(3)80热点二等差、等比数列的判定与证明【例2】 (2016南师附中月考)已知数列an的前n项和为Sn，a1，且SnSn1an1(nN*，且n2)，数列bn满足：b1，且3bnbn1n(n2，且nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bnan为等比数列.(1)解由SnSn1an1，得SnSn1an1，即anan1(nN*，n2)，则数列an是以为公差的等差数列，又a1，ana1(n1)dn.(2)证明3bnbn1n(n2)
9、，bnbn1n(n2)，bnanbn1nnbn1n(n2).bn1an1bn1(n1)bn1n(n2)，bnan(bn1an1)(n2)，b1a1300，(n2).数列bnan是以30为首项，为公比的等比数列.探究提高判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为同一常数.(2)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若aan1an1(nN*，n2)，则an为等比数列.【训练2】 已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数.(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明
10、理由.(1)证明由题设，anan1Sn1，知an1an2Sn11，得：an1(an2an)an1.an10，an2an.(2)解由题设可求a21，a31，令2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列.热点三求数列的通项微题型1由Sn与an的关系求an【例31】 (1)已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2，nN*)，a1.求数列an的通项公式.(2)(2016岳阳二模节选)设数列an的前n项和为S
11、n，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.证明：an23an；并求an.解(1)由an2SnSn10(n2，nN*)，得SnSn12SnSn10，所以2(n2，nN*)，故是等差数列.又2，所以2n，故Sn，anSnSn1(n2，nN*)，所以an(2)由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.又an0，所以3.于是数列a2n1是首项a11，公比为3的等比数列；数列a2n是
12、首项a22，公比为3的等比数列.因此a2n13n1，a2n23n1.bn探究提高给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.微题型2已知an与an1的递推关系式求an【例32】 (1)在数列an中，a11，an1an，求数列an的通项公式；(2)已知正项数列an满足a11，(n2)a(n1)aanan10，求通项an；(3)已知a14，an1，求通项an.解(1)由已知得a11，且，12(n2).an2n(n2)，又a11适合上式，an2n.(2)由(n2)a(n1
13、)aanan10，得(n2)n1，所以.又a11，则ana11.故数列an的通项公式an.(3)an1，两边取倒数得1，设bn，则bn1bn1，则bn12(bn2)，故bn2是以b122为首项，为公比的等比数列.bn2，即2，得an.探究提高(1)形如bn1bnf(n)，其中f(n)k或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；(2)形如an1anf(n)，可用累乘法；(3)形如an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列；(4)形如an1qanqn(q为常数，且q0，q1)，解决方法是在递推公式两边同除以qn1.【训练3】 (1)设数列an的前n项和为Sn，已知a11
14、，an1n2n，nN*.求a2的值；求数列an的通项公式.(2)已知正项数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn1Sna，数列bn满足bnbn13an，且b11.求数列an、bn的通项公式.解(1)依题意，2S1a21，又S1a11，所以a24.当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，以上两式相减得，2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1).整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2.(2)Sn1Sna，SnSn1a(n2)，得an1anaa，(an1an)(
15、an1an1)0，an10，an0，an1an0，an1an1(n2)，又由S2S1a，得2a1a2a，即aa220，a22，a21(舍去)，an是以1为首项，1为公差的等差数列，ann.又bnbn13an3n，bn1bn3n1(n2)，得3(n2)，又由b11，可求b23.故b1，b3，b2n1是首项为1，公比为3的等比数列；b2，b4，b2n是首项为3，公比为3的等比数列.b2n13n1，b2n33n13n.bn1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.
16、等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.应用关系式an时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.一、填空题1.(2015南通模拟)在等差数列an中，a13a3a1510，则a5的值为_.解析设数列an的公差为d，a1a152a8，2a83a310，2(a53d)3(a52d)10，5a510，a52.答案22.在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15_.解析设等比数列an的公比为q，由已知，得解
17、得q4.又a9a11a1q8a3q8(a1a3)q882，a13a15a1q12a3q12(a1a3)q1281，所以a9a11a13a15213.答案33.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.解析根据题意知a7a8a93a80，即a80.又a8a9a7a100，a90，当n8时，an的前n项和最大.答案84.等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于_.解析由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1).答案n(n1)5.(2016宿迁调研
18、)设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40等于_.解析依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，则S40S3070150.答案1506.若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq_.解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个
19、数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9.答案97.(2016全国卷)设等比数列满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.解析设等比数列an的公比为q，解得a1a2an，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值26，所以a1a2an的最大值为64.答案648.等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_.解析设数列an的首项和公差分别为a1，d，则则nSnnn2.设函数f(x)x2，则f(x)x2x，当x时，f(x)0；当x时，f
20、(x)0，所以函数f(x)minf，但67，且f(6)48，f(7)49，因为4849，所以最小值为49.答案49二、解答题9.(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.10.已知数列an满足a11，an13an1，(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.
21、证明(1)由an13an1，得an13.又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列.an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.11.数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线2xy20上.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，可得2an1Sn20.当n2时，2anSn120.，得2an12anan0，所以(n2).因为a11，2a2a12，所以a2.所以an是首项为1，公比为的等比数列.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知，Sn2.若为等差数列，则S1，S22，S33成等差数列，则2S1S3，即21，解得2.又2时，Sn2n2n2，显然2n2成等差数列，故存在实数2，使得数列Snn成等差数列.
