1、章末综合测评(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数 f(x)2cos x，则 f()等于()Asin Bcos C2sin D2sin A f(x)(2cos x)sin x，当 x 时，f()sin.2若曲线 y1x在点 P 处的切线斜率为4，则点 P 的坐标是()A.12，2B.12，2 或12，2C.12，2D.12，2B y1x2，由1x24，得 x214，从而 x12，分别代入 y1x，得 P点的坐标为12，2 或12，2.3已知 a 为函数 f(x)x3
2、12x 的极小值点，则 a()【导学号：97792179】A4 B2C4 D2D f(x)3x212，由 f(x)0 得 x2，当 x(，2)时，f(x)0，函数 f(x)递增；当 x(2，2)时，f(x)0，函数递增，所以 a2.4函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)D f(x)ex(x3)ex(x2)ex.由 f(x)0，得 x2，故选 D.5过点(0,1)且与曲线 yx1x1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A2xy10 Bx2y20Cx2y20 D2xy10D yx1x1 x1x1x12 2x12，y|x312，故与切线垂
3、直的直线斜率为 2，所求直线方程为 y12x，即 2xy10.故选 D.6对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)D 若 f(x)不恒为 0，则当 x1 时，f(x)0，当 xf(1)，f(1)2f(1)若 f(x)0 恒成立，则 f(2)f(0)f(1)，综合，知 f(0)f(2)2f(1)7函数 yln xx 的最大值为()Ae1 Be Ce2 D.103A yln xxln xxx21lnxx2，令 y0，得 xe.当 xe 时，y0；当 0 x0.故 y 极大值f(e)
4、e1.因为在定义域内只有一个极值，所以 ymaxe1.8如图 1，有一个是函数 f(x)13x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导数f(x)的图象，则 f(1)的值为()图 1A.13B13C.73D13或53B f(x)x22axa21，其图象为开口向上的抛物线，故不是图，图中，a0，f(x)x21，与已知矛盾；故 f(x)的图象为图，f(0)0，a1，又其对称轴在 y 轴右边，故 a1，f(x)13x3x21，f(1)13.9以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15C25 D50C 设内接矩形的长为 x，则宽为25x24，S2x225x2
5、4 y，y50 xx3.令 y0，得 x250 或 x0(舍去)，S2max625，即 Smax25.10对任意的 xR，函数 f(x)x3ax27ax 不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0 或 a7Ca21 Da0 或 a21A f(x)3x22ax7a，当 4a284a0，即 0a21 时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点11已知函数 yf(x)在定义域32，3 内可导，其图象如图 2 所示记 yf(x)的导函数为 yf(x)，则不等式 xf(x)0 的解集为()【导学号：97792180】图 2A.32，13 0,12,3)B.13，0 1,283，3C.13，1 2,3)D
6、.32，13 12，43 83，3A 对于不等式 xf(x)0，当32x0 时，f(x)0，则结合图象，知原不等式的解集为32，13；当 0 x3 时，f(x)0，则结合图象，知原不等式的解集为0,12,3)综上，原不等式的解集为32，13 0,12,3)12f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足 xf(x)f(x)0，对任意正数 a，b，若 ab，则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(b)f(b)Dbf(b)f(a)A 由 xf(x)f(x)0 得fxxxfxfxx20，则函数 yfxx 在(0，)上是减函数，由 0afbb 即 af(b)0)的单调减区间是(0
7、,4)，则 k的值是_13 f(x)3kx26(k1)x，令 f(x)0 得 x0 或 x2k1k，由题意知2k1k4，解得 k13.16已知函数 f(x)x3ax 在区间(1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_3，)f(x)3x2a，由题意知 f(x)0 在 x(1,1)时恒成立，即 a3x2 在 x(1,1)时恒成立，又 x(1,1)时，3x23，则 a3.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(1)已知曲线 f(x)ax x在 x4 处的切线方程为 5x16yb0，求实数 a 与 b 的值(2)直线 l：y
8、xa(a0)和曲线 C：yx3x21 相切，求实数 a 的值.【导学号：97792181】解(1)f(x)ax2 12 x，由题意知 f(4)a1614 516，解得 a1，f(x)1x x，f(4)14 474.即切点为4，74.4，74 在切线 5x16yb0 上，541674 b0，即 b8，从而 a1，b8.(2)设直线 l 和曲线 C 相切于点 P(x0，y0)，由 y3x22x 得 y|xx03x202x0，由题意知 3x202x01，解得 x013或 x01，于是切点的坐标为13，2327 或(1,1)当切点为13，2327 时，232713a，即 a3227.当切点为(1,1)
9、时，11a，即 a0(舍去)实数 a 的值为3227.18(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)可知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，舍去当x(0,5)时，f(x
10、)0，故 f(x)在(5，)上为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5，无极大值19(本小题满分 12 分)设函数 yf(x)4x3ax2bx5 在 x32与 x1处有极值(1)写出函数的解析式(2)指出函数的单调区间(3)求 f(x)在1,2上的最值解(1)y12x22axb，由题设知当 x32与 x1 时函数有极值，则x32与 x1 满足 y0，即123222a32b0，12122a1b0，解得a3，b18，所以 y4x33x218x5.(2)y12x26x186(x1)(2x3)，列表如下：x(，1)11，323232，y00y y 极大值16 y 极小值61
11、4由上表可知(，1)和32，为函数的单调递增区间，1，32 为函数的单调递减区间(3)因为 f(1)16，f32 614，f(2)11，所以 f(x)在1,2上的最小值是614，最大值为 16.20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若 f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于72，求 a 的取值范围解(1)由 f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3xa32ba23
12、.当 xa3时，f(x)有极小值 ba23.因为 f(x)的极值点是 f(x)的零点，所以 fa3 a327a39 ab3 10.又 a0，故 b2a29 3a.因为 f(x)有极值，故 f(x)0 有实根，从而 ba23 19a(27a3)0，即 a3.当 a3 时，f(x)0(x1)，故 f(x)在 R 上是增函数，f(x)没有极值；当 a3 时，f(x)0 有两个相异的实根x1a a23b3，x2a a23b3.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值 极小值故 f(x)的极值点是 x1，x2.从而 a3.因此 b2a29 3a，定义域为(3，)(
13、2)证明：由(1)知，ba2a a9 3a a.设 g(t)2t93t，则 g(t)293t22t2279t2.当 t3 62，时，g(t)0，从而 g(t)在3 62，上单调递增因为 a3，所以 a a3 3，故 g(a a)g(3 3)3，即 ba 3.因此 b23a.(3)由(1)知，f(x)的极值点是 x1，x2，且 x1x223a，x21x224a26b9.从而 f(x1)f(x2)x31ax21bx11x32ax22bx21x13(3x212ax1b)x23(3x222ax2b)13a(x21x22)23b(x1x2)24a36ab274ab9 20.记 f(x)，f(x)所有极值
14、之和为 h(a)，因为 f(x)的极值为 ba23 19a23a，所以 h(a)19a23a，a3.因为 h(a)29a 3a20，于是 h(a)在(3，)上单调递减因为 h(6)72，于是 h(a)h(6)，故 a6.因此 a 的取值范围为(3,621(本小题满分 12 分)若函数 f(x)ax3bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值43.(1)求函数的解析式(2)若方程 f(x)k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围解(1)f(x)3ax2b，由题意知f20，f243，即12ab08a2b443，解得a13，b4，故 f(x)13x34x4.(2)由(1)可得 f(x)x24(
15、x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)283 43因此，当 x2 时，f(x)有极大值283，当 x2 时，f(x)有极小值43，所以函数 f(x)13x34x4 的图象大致如图所示若 f(x)k 有 3 个不同的根，则直线 yk 与函数 f(x)的图象有 3 个交点，所以43k283.22(本小题满分 12 分)设函数 f(x)x2ex1ax3bx2，已知 x2 或 x1为 f(x)的极值点.【导学号：97792182】(1)求 a 和 b 的值；(2)设 g(x)23x3x2
16、，试比较 f(x)与 g(x)的大小解(1)f(x)2xex1x2ex13ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)由 x2 和 x1 为 f(x)的极值点，得f20f10，即6a2b033a2b0，解得a13b1.(2)由(1)得，f(x)x2ex113x3x2，故 f(x)g(x)x2ex113x3x223x3x2x2(ex1x)令 h(x)ex1x，则 h(x)ex11.令 h(x)0，得 x1.h(x)，h(x)随 x 的变化情况如下表：x(，1)1(1，)h(x)0h(x)0由上表，可知当 x1 时，h(x)取得极小值，也是最小值，即当 xR 时，h(x)h(1)，也就是恒有 h(x)0.又 x20，所以 f(x)g(x)0，故对任意 xR，恒有 f(x)g(x)
