1、第十二篇推理与证明、算法、复数A第1讲合情推理与演绎推理最新考纲1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推
2、理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断辨 析 感 悟1对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情
3、推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(5)(2014安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为18.()2对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()感悟提升三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都
4、不一定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的如(7)学生用书第200页考点一归纳推理【例1】 (2013湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N
5、(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析由N(n,3)n2n，N(n,4)n2n，N(n,5)n2n，N(n,6)n2n，推测N(n，k)n2n，k3.从而N(n,24)11n210n，N(10,24)1 000.答案1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法【训练1】 (1)(2014佛山质检)观察下列不等式：1
6、；.则第5个不等式为_(2)(2013陕西卷)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n135(2n1)答案(1)(2)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)考点二类比推理【例2】 在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3
7、，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”审题路线三角形面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的得出结论答案V四面体ABCD(S1S2S3S4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，
8、三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.则四维空间中“超球”的四维测度W2r4，猜想其三维测度V_.解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即VW(2r4)8r3.答案8r3考点三演绎推理【例3】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10， (小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)
9、由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)， (小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)学生用书第201页规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练3】 “因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”，以上推理的错误是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误
10、导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误解析当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案A1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)创新突破12新定义下的归纳推理【
11、典例】 (2013湖南卷)对于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21,1j98，则PQ的元素个数为_突破1：读懂信息，对于集合Xai1，ai2，aik来说，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100是一个新的数列，该数列
12、的xi1xi2xik1，其余项均为0.突破2：通过例子：“子集a2，a3的特征数列为0,1,1,0，0，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.突破3：根据p11，pipi11可写出子集P的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，1,0，归纳出子集P；同理，子集Q的特征数列为1,0,0,1,0,0，1,0,0，归纳出子集Q.突破4：由P与Q的前几项的规律，找出子集P与子集Q的公共元素即可解析(1)根据题意可知子集a1，a3，a5的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，0，此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，1,0，则P
13、a1，a3，a2n1，a99(1n50)，子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，1,0,0,1，则Qa1，a4，a3k2，a100(1k34)，则PQa1，a7，a13，a97，共有17项答案(1)2(2)17反思感悟 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力【自主体验】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析已知f(x
14、1)f(x2)f(xn)f， (大前提)因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(结论)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案对应学生用书P379基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确答案C2观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理
15、得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案D3(2012江西卷)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123 D199解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C4(2014长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)
16、axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D解析经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选B.答案B5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到
17、“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析正确；错误答案B二、填空题6(2014西安五校联考)观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出结论：_.解析各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27若等差数列an
18、的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1)，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_答案数列为等比数列，且通项为b1()n18(2014揭阳一模)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n个等式：_.答案2cos 三、解答题9给出下面的数表序列：表1表2表31131354 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到
19、表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列10f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2012江西卷)观察下列事实：|x|y|1的不
20、同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D92解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.故选B.答案B2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样
21、的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024 C1 225 D1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案C二、填空题3在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格
22、点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S(2)3，N1，L6.(2)由(1)知，S四边形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S4，N1，L8.则Sa8bc4.联立解得a1，b.c1.SNL1，若某格点多边形对应的N71，L18，则S7118179.答案(1)3,1,
23、6(2)79三、解答题4(2012福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为
24、sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.学生用书第202页第2讲直接证明与间接证明最新考纲1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫
25、做综合法框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)思维过程：执果索因2间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从
26、要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()感悟提升两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛
27、盾；自相矛盾.考点一综合法的应用【例1】 (2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.学生用书第203页规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明【训练1】 (1)设a0，b0，ab1，求证：8.(
28、2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：3.证明(1)ab1，11222248，当且仅当ab时，等号成立(2)a，b，c全不相等，且都大于0.与，与，与全不相等，2，2，2，三式相加得6，3，即3.考点二分析法的应用【例2】 已知a0，求证：a2.审题路线从结论出发观察不等式两边的符号移项(把不等式两边都变为正项)平方移项整理平方移项整理可得显然成立的结论证明(1)要证a2，只需要证2a.a0，故只需要证22，即a244a2222，从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分
29、条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证【训练2】 已知m0，a，bR，求证：2.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已
30、知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.学生用书第204页规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的
31、【训练3】 已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数根证明假设三个方程都没有实数根，则a1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而
32、推出矛盾结果，其推理过程是错误的答题模板13反证法在证明题中的应用【典例】 (14分)(2013北京卷)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形规范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 (2分)所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2. (5分)(2)证明假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. (7分)设A(x1，y
33、1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M. (9分)因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.(11分)因为k1，所以AC与OB不垂直 (13分)所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去答题模板用反证法证明数学命题的答题模板：第一步
34、：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.学生用书第205页【自主体验】设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，代入k1k220，得k20.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标为.
35、从而2x2y22221，所以l1与l2的交点P(x，y)在椭圆2x2y21上对应学生用书P381基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014安阳模拟)若ab0，则下列不等式中成立的是()A. BabCba D.解析(特值法)取a2，b1，验证C正确答案C2用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()Aa，b都不能被5整除Ba，b都能被5整除Ca，b中有一个不能被5整除Da，b中有一个能被5整除解析由反证法的定义得，反设即否定结论答案A3(2014上海模拟)“a”是“对任意正数x，均有x1”的()A充分不必要条件 B必要不充
36、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案A4(2014张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5(2014天津模拟)p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()Apq Bpq Cpq D不确定解析q p.答案B二、填空题6下列条件：ab0，ab0，
37、b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案37已知a，b，m均为正数，且ab，则与的大小关系是_解析，a，b，m0，且ab，ba0，.答案8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填上序号)答案三、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10(2014鹤岗模拟)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它
38、的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2 B都小
39、于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D2已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析，又f(x)x在R上是减函数，ff()f.答案A二、填空题3(2014株洲模拟)已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216，当且仅当a4，b12时，等号成立，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，0，11,1，12，你能得到一个怎样的一般不等式？
40、并加以证明审题路线 观察前4个式子，左边的项数及分母的变化不难发现一般的不等式为1(nN*)，并用数学归纳法证明解一般结论：1(nN*)，证明如下：(1)当n1时，由题设条件知命题成立(2)假设当nk(kN*)时，猜想正确即1.当nk1时，1.当nk1时，不等式成立根据(1)、(2)可知，对nN*,1.规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【训练2】 若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn
41、(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.证明(1)当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直线PQ1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此，2x1x23，即n1时结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2xk13，xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由(1)、(2)知对任意的正整数n,2xnxn10，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性审题
42、路线从特殊入手，正确计算a1，a2，a3，探求an与n的一般关系运用数学归纳法严格证明(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由、，可知对所有nN*，an都成立规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性
43、问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性【训练3】 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n1时，a12111，结论成立；(2)假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1
44、(ak1)2122k12k11，当nk1时，结论也成立由(1)、(2)知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，因此，1n1.1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的
45、正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写 答题模板14数学归纳法在数列问题中的应用【典例】 (12分)(2012安徽卷改编)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列规范解答(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列 (2分)必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充要条件是c0. (4分)(2)若00，即证xn对任意n1成立 (6分)下面用数学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立当n1时，x10，结论成立 (7分)假设当nk(
46、k1，kN*)时结论成立，即xk.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，当nk1时，xk1成立 (10分)由、知，xnxn，即xn是递增数列 (12分)反思感悟 (1)第(1)问易只判定充分性或必要性，证明不完整而失分(2)难以将第(2)的结论转化为判定xn；或在证明nk1时，不能运用函数f(x)x2xc的单调性，导致归纳假设运用受阻束手无策答题模板第一步：利用充要条件的意义，判定xn递减c0；第二步：运用分析法，将结论转化为判定xn；第三步：验证n1时，结论成立；第四步：假设当nk(k1，kN*)时，xk，证明当nk1时xk1，b2，b3.猜想bn(nN*)下
47、面利用数学归纳法证明(1)当n1时，因b12，所以b1.(2)假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即0.当nk1时，bk10.bk1，也就是说，当nk1时，结论也成立根据(1)、(2)，知bn(nN*).对应学生用书P383基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()A1 B12C1222 D122223解析左边的指数从0开始，依次加1，直到n2，所以当n1时，应加到23，故选D.答案D2设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列
48、命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；选项D符合题意答案D3用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析由条件知，当nk时，等式12222k12k1，
49、当nk1时，等式12222k12k2k12k2k11.答案D4用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()A. BC. D.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案C5凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)多边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案C二、填空题6(2014扬州质检)设f(n)1(nN*)，则f(n1)f(n)_.解析f(n)1，f(n1)1.f(n1)f(n).答案7用数学归纳法证明：“11)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项
50、的项数是_解析由nk(k1)到nk1时，不等式左端增加的项为共增加(2k11)(2k1)2k项答案2k8用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.答案2k1三、解答题9用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，则左边右边，当n1时，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(
51、1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)、(2)知对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.10已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上(1)解由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2，a2a1b2.点P2的坐标为，直线l的方程为2xy1.(2)证明当n1时，2a1b121(1)1成立假设当nk(kN*)时，2akbk1成立，则当nk1时，2ak1bk12akb
52、k1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由、知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，4时，f(n)_(用n表示)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)答案5(n1)(n2)三、解答题4设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并
53、给出证明解(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，2a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立由、知Sn对任意的正整数n都成立.学生用书第208页第4讲算法与程序框图最新考纲1了解算法的含义，了解
54、算法的思想2理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)4能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用5了解结构图，会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息.知 识 梳 理1算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤2程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带方向箭头，按照算法步骤的执行顺序将程序框连接起来3三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本
55、结构其结构形式为(2)条件结构是指算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况反复执行的步骤称为循环体循环结构又分为当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)其结构形式为学生用书第209页4.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量表达式将表达式所代表的值赋给变量5.条件语句(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应(2)条件语句的格式6循环语句(1)程序框图中的循环
56、结构与循环语句相对应(2)循环语句的格式辨 析 感 悟1对算法概念的认识(1)任何算法必有条件结构()(2)算法可以无限操作下去()2对程序框图的认识(3)是赋值框，有计算功能()(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止()(5)(2013广东卷改编)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为7.()3对算法语句的理解(6)5x是赋值语句()(7)输入语句可以同时给多个变量赋值()感悟提升三点提醒一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再
57、判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，如(3)；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式考点一基本逻辑结构【例1】 (1)(2013浙江卷)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则()Aa4 Ba5 Ca6 Da7(2)(2013山东卷)执行下面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输出的n的值为_解析(1)依框图知：当ka时，S11112.当S时，k4，故由程序框图可知k4a不成立，k5a成立，所以a4.(2)由程序框图可知：第一次运行：F1123，F0312，n112，不满足要求，继续运行；第二次运行：F123
58、5，F0523，n213，0.2，满足条件结束运行，输出n3.答案(1)A(2)3规律方法 此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节【训练1】 (2013天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为().学生用书第210页A7 B6 C5 D4解析第1次，S1，不满足判断框内的条件；第2次，n2，S1，不满足判断框内的条件；第3次，n3，S2，不满足判断框内的条件；第4次，n4，S2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n4.答案D考点二程
59、序框图的识别与应用问题【例2】 (1)(2013新课标全国卷)执行如图1的程序框图，如果输入的N4，那么输出的S()图1图2A1B1C1D1(2)(2013重庆卷)执行如图2所示的程序框图，如果输出s3，那么判断框内应填入的条件是()Ak6? Bk7? Ck8? Dk9?解析(1)由框图知循环情况为：T1，S1，k2；T，S1，k3；T，S1，k4；T，S1，k54，故输出S.(2)首次进入循环体，s1log23，k3；第二次进入循环体，s2，k4；依次循环，第六次进入循环体，s3，k8，此时终止循环，则判断框内填k7？.答案(1)B(2)B规律方法 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1
60、)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证【训练2】 (2013福建卷)阅读如图所示的程序框图，若输入的k10，则该算法的功能是()A计算数列2n1的前10项和B计算数列2n1的前9项和C计算数列2n1的前10项和D计算数列2n1的前9项和解析由程序框图可知：输出S122229，所以该算法的功能是计算数列2n1的前10项的和答案A考点三基本算法语句【例3】 (1)(2013陕西卷)根据图1算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()图1图2A25 B30 C31 D61(2)根据图2的程序写出相应的算法功
61、能为_解析(1)通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数yf(x)yf(60)250.6(6050)31.(2)该程序是计算1999中连续奇数的平方和答案(1)C(2)求和：1232529992规律方法 输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式在赋值语句中，一定要注意其格式的要求，如“”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语
62、句【训练3】 (1)请写出图1运算输出的结果为_图1学生用书第211页(2)为了在运行图2的程序之后得到结果y16，则键盘输入的x应该是_图2解析(1)语句cab是将a，b的和赋值给c，故c235；语句bacb是将acb的值赋值给b.故b2534.输出的结果为：2,4,5.(2)算法语句一个分段函数f(x)当x0时，令(x1)216，x5；当x0时，令(x1)216，x5，x5.答案(1)2,4,5(2)51在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性2在画程序框图时首先要进行结构的选择若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问
63、题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构3程序框图的条件结构和循环结构分别对应算法语句的条件语句和循环语句，两种语句的阅读理解是复习重点易错辨析13弄错循环次数致误【典例】 (2013湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i_.解析a104且a是偶数，则a5，i2；a54且a是奇数，则a35116，i3；a164且a是偶数，则a8，i4；a84且a是偶数，则a4，i5.所以输出的结果i5.答案5易错警示循环条件弄错，多计一次或者少计一次而得到错误结果防范措施(1)解决程序框
64、图问题要注意的三个常用变量计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如ii1.累加变量：用来计算数据之和，如SSi；累乘变量：用来计算数据之积，如ppi.(2)使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别【自主体验】(1)(2013辽宁卷)执行如图1所示的程序框图，若输入n8，则输出S()A. B. C. D.图1图2(2)(2014杭州二检)若某程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的值是_解析(1)SS的意义在于对求和因为，同时注意ii2，所以所求的S.(2)程序是计算1的值，根据判断条件，需
65、要计算到1，此时的k6.答案(1)A(2)6对应学生用书P385基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013新课标全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()A3,4 B5,2C4,3 D2,5解析作出分段函数s的图象(图略)，可知函数s在1,2上单调递增，在2,3上单调递减，s(1)3，s(2)4，s(3)3，t1,3时，s3,4答案A2.(2013北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A1B.C.D.解析初始条件i0，S1，逐次计算结果是S，i1；S，i2，此时满足输出条件，故输出S.答案C3(2013安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)
66、的输出结果是()A. B. C. D.解析S0.答案D4(2014南昌模拟)如果执行如图所示的程序框图，输出的S110，则判断框内应填入的条件是()Ak10? Bk11? Ck10? Dk11?解析由程序可知该程序是计算S242kk(k1)，由Sk(k1)110得k10，则当k10时，kk110111不满足条件，所以条件为k10？，故选C.答案C5(2014枣庄模拟)如图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是()A3 B4C5 D6解析本程序计算的是S12222A，即S2A11，由2A1131得2A132，解得A4，则A15时，条件不成立，所以M4.答案B二、填空题6
67、(2013湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入a1，b2，则输出的a的值为_解析第一次循环，a123，第二次循环，a325，第三次循环，a527，第四次循环，a7298，满足条件，输出a9.答案97(2013江苏卷)如图是一个算法的程序框图，则输出的n的值是_解析第一次循环：a8，n2；第二次循环：a26，n3.答案38(2014临沂一模)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是_解析第一次循环，S201，k1；第二次循环，S1213，k2；第三次循环，S32311，k3；第四次循环，S11211，k4；第五次循环S11211100不成立，输出k4.答案4三、解答题9某工种按工时计算
68、工资，每月总工资每月劳动时间(小时)每小时工资，从总工资中扣除10%作公积金，剩余的为应发工资，当输入劳动时间和每小时工资数时，试编写一个算法输出应发工资，画出程序框图解算法如下：第一步，输入每月劳动时间t和每小时工资a；第二步，求每月总工资y每月劳动时间t每小时工资a；第三步，求应发工资z每月总工资y(110%)；第四步，输出应发工资z.程序框图如图：10画出计算S12222332410211的值的程序框图解如图所示：能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014丽水模拟)依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的程序框图，并编写了相应的程序已知小张家共有4口
69、人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位：元)是()A3.6 B5.2 C6.2 D7.2解析当n4时，S51.2(43)6.2.答案C2(2012陕西卷)如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入()Aq BqCq Dq解析由框图知，xi60的人数为M，xi60的人数为N，故空白处填及格率q.答案D二、填空题3(2014淄博二模)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是_解析由ab得x2x3，解得x1.所以当x1时，输出ax2，当x1时，输出bx3.所以当x1时，由ax28，解得x2.若x1，由bx38，得x2，所以输入的数为
70、2或2.答案2或2三、解答题4到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费，设计一个描述汇款额x元，银行收取手续费y元的算法试画出程序框图解由题意可知，y算法如下：第一步：输入x.第二步：若0x100，则y1；否则执行第三步第三步：若x5 000，则y0.01；否则y50.第四步：输出y.程序框图如下：学生用书第212页第5讲复数最新考纲1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算
71、5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知 识 梳 理1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、
72、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)辨 析 感 悟1对复数概念的理解(1)方程x2x10没有解()(2)2i比i大()(3)(教材习题改编)复数1i的实部是1，虚部是i.()2对复数几何意义的认识(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平
73、面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()(6)(2013福建卷改编)已知复数z的共复轭复数12i，则z在复平面内对应的点位于第三象限()3对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)i.()(8)(2013浙江卷改编)(1i)(2i)13i.()感悟提升1两点提醒一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)2两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN)(2)(1i)22i，i，i.学生用书第213页考点一复数的概念【例1】 (1)(2013山东卷)复数z满足(
74、z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i(2)(2013新课标全国卷)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.解析(1)由(z3)(2i)5，得z3335i，5i.故选D.(2)(34i)z|43i|5.z，z的虚部为.答案(1)D(2)D规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理【训练1】 (1)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)若复数z1i(i
75、为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0 B1 C1 D2解析(1)ab0a0或b0，这时aabi不一定为纯虚数，但如果aabi为纯虚数，则有a0且b0，这时有ab0，由此知选B.(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虚部为0.答案(1)B(2)A考点二复数的几何意义【例2】 (1)(2013湖南卷)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25 B. C5 D.解析(1)zii21i，对应的点为(1,1)，位于复平面第二象限(2)z43i，|z| 5.答案(1)B(2)
76、C规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征【训练2】 (1)(2013四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BB CC DD(2)(2013湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.解析(1)设zabi(a，bR)，则z的共轭复数abi，它的对应点为(a，b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数zabi与点(a，b)一一对应点(a，b)关于原点对称的点为(a，b)，则复数z223i.答案(1)B(2)2
77、3i学生用书第214页考点三复数代数形式的四则运算【例3】 (1)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(2)_.(3)已知复数z满足2i，则z_.解析(1)法一|z|，z|z|2.法二z，z.(2)i(1i)4i(1i)22i(2i)24i.(3)由2i，得ziiiii.答案(1)(2)4i(3)i规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1z2|z1|2|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化【训练3】 (1)(2014临沂模拟)设z1i，则z2等于()A1i B1i Ci D1i(2)(2013安徽卷)设i是虚数单位，是复数z的共
78、轭复数，若zi22z，则z()A1i B1iC1i D1i解析(1)z2(1i)22i2i1i2i1i.(2)设zabi(a，bR)，则zi2(abi)(abi)i22(a2b2)i2a2bi，故22a，a2b22b解得a1，b1即z1i.答案(1)A(2)A 1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3要记住一些常用的结果，如i，i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度 思想方法12解决复数问题的实数化思想【典例】 (2013天津卷)已知a，bR，i为
79、虚数单位，若(ai)(1i)bi，则abi_.解析(ai)(1i)(a1)(a1)ibi则解得a1，b2.所以abi12i.答案12i反思感悟 (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法【自主体验】1(2014滨州模拟)已知bi(a，bR)，则ab()A1 B2 C1 D3解析a2ibii21bi，a1，b2，ab1.答案A2(2012湖北卷)若abi(a，bR)，则ab_.解析由已知得3bi(1i)(abi)abiaibi2(ab
80、)(ba)i，根据复数相等得解得ab3.答案3对应学生用书P387基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013北京卷)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 (2i)244ii234i，对应的点为(3，4)，位于第四象限，故选D.答案D2(2013广东卷)若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2,4) B(2，4)C(4，2) D(4,2)解析由已知条件得z42i，所以z对应的点的坐标为(4，2)，故选C.答案C3(2014武汉模拟)设复数z(34i)(12i)，则复数z的虚部为()A2 B2 C2i D
81、2i解析z(34i)(12i)112i，所以复数z的虚部为2.答案B4(2013新课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则z()A1i B1i C1i D1i解析由题意得z1i，故选A.答案A5(2013陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12 B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22 D若|z1|z2|，则zz解析A中，|z1z2|0，则z1z2，故12，成立B中，z12，则1z2成立C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，C正确D不一定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.答案D
82、二、填空题6(2013江苏卷)设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_解析z(2i)234i，|z|5.答案57(2014郑州模拟)4_.解析421.答案18(2013上海卷)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，则m_.解析由题意知解得m2.答案2三、解答题9已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i(aR)，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R.a4.z242i.10当实数m为何值时，z(m25m6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)
83、复数z对应的点在复平面内的第二象限解(1)若z为实数，则解得m2.(2)若z为虚数，则解得m2且m3.(3)若z为纯虚数，则解得m3.(4)若z对应的点在第二象限，则即m3或2m3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014陕西师大附中模拟)2 014()Ai Bi C1 D1解析2 0142 0142 014(i)2 104i2 014i450321.答案C2方程x26x130的一个根是()A32i B32iC23i D23i解析法一x32i.法二令xabi，a，bR，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得a3，b2，即x32i.答案A二、填
84、空题3(2014北京西城模拟)定义运算adbc.若复数x，y，则y_.解析因为xi.所以y2.答案2三、解答题4.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.基础回扣练推理证明、算法、复数(对应学生用书P389)(建议用时：60分钟)一、选择题1(2013湖北卷)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复
85、数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析z1i，1i，对应点(1，1)在第四象限答案D2(2013辽宁卷)复数z的模为()A. B. C. D2解析zi，|z|.答案B3(2013江西卷)已知集合M1,2，zi，i为虚数单位，N3,4，MN4，则复数z()A2i B2iC4i D4i解析由MN4知4M，所以zi4，z4i，选C.答案C4(2014佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|2，则复数z的虚部是()A B.i Ci D解析设zabi(a，bR)，由题意知a1，1b24，b23，b.答案D5(2014青岛一模)某程序框图如图所示，若a3，则该程序运行后，输出的
86、x值为()A15 B31 C62 D63解析第一次循环：x2317，n2；第二次循环：x27115，n3；第三次循环：x215131，n4.此时不满足条件，输出x31.答案B6(2014郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()A6 B5 C4 D3解析第一次循环，n1，S123；第二次循环，n2，S2328；第三次循环，n3，S38226；第四次循环，n4，S4262106，此时满足条件，输出n4.答案C7(2013江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i5，那么在空白矩形框中应填入的语句为()AS2B.S2D.S2解析i2，S5；i3，S10，排除D；i4，S9；i5，S10，排除A
87、和B，故选C.答案C8.(2014咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为()Ak6? Bk4?Ck5? Dk5?解析当k1时，S2011；当k2时，S2124；当k3时，S24311；当k4时，S211426；当k5时，S226557，由题意知此时退出循环，因而选B.答案B9(2014福州质检)将正奇数1,3,5,7，排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()A第一列 B第二列C第三列 D第四列解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而454111，故89位于第四列答案D10(2013长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较
88、小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSS BS2CSS1S2S3 DS解析如图，作ODBC于点D，连接AD，由立体几何知识知，ADBC，从而S22BC2AD2BC2(OA2OD2)(OB2OC2)OA2BC2OD2222SSS.答案A二、填空题11(2013重庆卷)已知复数z，则|z|_.解析z
89、2i，|z|.答案12(2014茂名一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a_.解析i，由题意知：0，a2.答案213(2014湖南十二校二联)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：010分钟；1120分钟；2130分钟；30分钟以上有10 000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在020分钟内的学生的频率是_解析由已知得，输出的数据为体育锻炼时间超过20分钟的学生数6 200，故锻炼时间不超过20分钟的学生数为10 0006 2003 800，由古典概型的概率计
90、算公式可得，P0.38.故所求频率是0.38.答案0.3814(2014泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为_解析第一次：n35116，k1；第二次：n8，k2；第三次：n4，k3；第四次：n2，k4；第五次：n1，k5，此时满足条件，输出k5.答案515(2013宝鸡二检)已知222，332，442，若992(a，b为正整数)，则ab_.解析观察分数的分子规律得b9，则ab2180，故ab89.答案8916(2014兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V
91、1，外接球体积为V2，则_.解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以.答案三、解答题17在单调递增数列an中，a12，不等式(n1)anna2n对任意nN*都成立(1)求a2的取值范围；(2)判断数列an能否为等比数列，并说明理由解(1)因为an是单调递增数列，所以a2a1，即a22.又(n1)anna2n，令n1，则有2a1a2，即a24，所以a2(2,4(2)数列an不能为等比数列用反证法证明：假设数列an是公比为q的等比数列，由a120，得an2qn1.因为数列an单调递增，所以q1.因为(n1)anna2n对任意nN*都成立，所以对任意nN*，都有1qn.因为q1，所以存在n0N*，使得当nn0时，qn2.因为12(nN*)所以存在n0N*，使得当nn0时，qn1，与矛盾，故假设不成立18(2013常德模拟)设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN*，都有an.
