1、专题综合练四(12.212.3)(60分钟 100分)一、选择题(每小题 5 分，共 45 分，多选题全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)1复数 z12 12 i(其中 i 为虚数单位)的共轭复数为()A12 12 i B12 12 iC12 12 i D112 i【解析】选 B.复数 z12 12 i，则共轭复数与它实部相同虚部互为相反数，故为12 12 i.2(2021扬州高一检测)复数 z 满足 z7i12i(i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 z()A13i B13iC3i D3i【解析】选 B.z7i12i 7i 12i12i 12i515i513i
2、，则 z 13i.3已知3iz12i(i 为虚数单位)，则|z()A 1010 B 105 C 22 D 52【解析】选 C.方法一：由题意，复数|z|（12i）（3i）（3i）（3i）110 710i11027102 22.方法二：两边同时取模得：|3i|z|12i|，所以91|z|14，所以|z|510 22.4已知复数 z 满足zi1，i 为虚数单位，则z28i1i的最大值是()A5 B6 C7 D8【解析】选 B.根据复数的几何意义，zi1 表示以0，1为圆心，1 为半径的圆，z28i1iz28i 1i1i 1iz35i表示 Z 点和(3，5)的距离，其最大值就是0，1和3，5的距离加
3、上半径，故为30 251 2 16.5已知复数 z 满足 z1 3 i(其中 i 为虚数单位)，则z|z()A12 32i B12 32iC12 32i D12 32i【解析】选 B.因为 z1 3 i，所以|z 1 2()3 2 2，因此，z|z 1 3i212 32i.6设复数 z 满足|z1|zi|，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则()Ax0 By0Cxy0 Dxy0【解析】选 D.复数 z 满足|z1|zi|，所以（x1）2y2 x2（y1）2，化简，得 xy0.7(多选)若复数 z 满足z2i34i(i 为虚数单位)，则下列结论正确的有()Az 的虚部为 3B|z 13Cz 的
4、共轭复数为 23iDz 在复平面内对应的点在第三象限【解析】选 BC.因为z2i34i，所以 z34ii23i2，所以，复数 z 的虚部为3，|z 13，共轭复数为 23i，复数 z 在复平面对应的点在第四象限8(多选)下面是关于复数 z21i(i 为虚数单位)的命题，其中真命题为()A|z|2 Bz22iCz 的共轭复数为 1i Dz 的虚部为1【解析】选 BD.因为 z21i2（1i）（1i）（1i）1i，所以|z|2，A 错误；z22i，B 正确；z 的共轭复数为1i，C 错误；z 的虚部为1，D 正确9(多选)已知 z1 与 z2 是共轭虚数，以下 4 个命题一定正确的是()Az21|
5、z2|2Bz1z2|z1z2|Cz1z2RDz1z2 R【解析】选BC.z1与z2是共轭虚数，设z1abi(a，bR，b0)，则z2abi(a，bR).z21a2b22abi，|z2|2a2b2 不能比较大小，因此 A 不正确；z1z2(abi)(abi)a2b2，所以|z1z2|a2b2，B 正确；z1z22aR，C 正确；z1z2 abiabi（abi）2（abi）（abi）a2b2a2b2 2aba2b2 i 不一定是实数，因此 D 不一定正确二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)10已知1iz2i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为_【解析】1iz2iz2i1i 2i 1i1
6、i 1i13i212 32 i，所以|z 122322 102.答案：10211已知 i 是虚数单位，mR，且2mi1i是纯虚数，则2mi2mi2 021_【解析】2mi1i（2mi）（1i）（1i）（1i）（2m）（2m）i2，因为2mi1i是纯虚数，所以有 m2，所以22i22i2 0211i1i2 021i（i1）1i2 021(i)2021i2 021i50541i.答案：i12如果复数 zm2i(1mi)是实数，则实数 m_，|zi|_【解析】由题意可得，m2i(1mi)m2m(m31)i，因为复数m2i(1mi)是实数，所以 m310，解得 m1，所以 z2，|zi|2i|5.答案
7、：1 5三、解答题(每小题 10 分，共 40 分)13设 z 为复数 z 的共轭复数，满足z z2 3.(1)若 z 为纯虚数，求 z；(2)若 z2z 为实数，求|z.【解析】(1)设 zbi，bR，则 z bi，因为z z2 3，则|2bi 2 3，即|b 3，所以 b 3，所以 z 3 i.(2)设 zabi，a，bR，则 z abi，因为z z2 3，则|2bi 2 3，即|b 3.z2z abiabi2aa2b2b2abi.因为 z2z 为实数，所以 b2ab0.因为|b 3，所以 a12，所以|z 122()3 2 132.14已知复数 z64mi1i(mR，i 是虚数单位).(
8、1)若 z 是纯虚数，求实数 m 的值；(2)设 z 是 z 的共轭复数，复数 z 2z 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围【解析】(1)z64mi 1i1i 1i32m32mi，因为 z 为纯虚数，所以32m032m0，解得 m32.(2)因为 z 是 z 的共轭复数，所以 z 32m32mi，所以 z 2z2m396mi.因为复数 z 2z 在复平面上对应的点位于第二象限，所以2m30，解得32 m32.15已知复数 z1ai2，z243i，其中 a 是实数(1)若在复平面内表示复数 z1z2 的点位于第二象限，求 a 的取值范围；(2)若z1z2 是纯虚数，a 是正实数
9、求 a；求z1z2 z1z22z1z23z1z22 022.【解析】(1)由题意可得 z1(ai)2a212ai，z1z24a26a438a3a2i，因为复数 z1z2 在复平面内对应的点位于第二象限，所以4a26a40，解得13 a12.(2)依题意得：z1z2（ai）243i（ai）2（43i）（43i）（43i）a22aii2（43i）42（3i）24a28ai4i23a2i6ai23i316（9）4a26a4 3a28a3 i25，因为z1z2 是纯虚数，则4a26a403a28a30，即a2或a12a3且a13，又因为 a 是正实数，则 a2.当 a2 时，z1z2 4a26a48a
10、i3a2i3i2516i12i3i25i，方法一：z1z2 z1z22z1z23z1z22 022ii2i3i2 021i2 022i1i2 0221ii（1i2）1i 2i1i 2i（1i）（1i）（1i）i(1i)1i.方法二：因为 i1i2i3i40，所以z1z2 z1z22z1z23z1z22 022(i1i2i3i4)(i5i6i7i8)i2 021i2 022ii21i.16已知复数 zabi(a，bR)，存在实数 t 使 abi24it3ati 成立(1)求证：2ab 为定值；(2)若|z2|a，求|z|的取值范围【解析】(1)因为存在实数 t 使 abi24it3ati 成立，所以 tatbi2(43at2)i，且 t0，所以ta2，tb43at2，所以b2a 43a4a2，即2b4a12，化简可得 2ab6，即 2ab 为定值(2)若|z2|a，则（a2）2b2 0，且（a2）2（62a）2 a，化简可得(a2)(a5)0，解得 2a5.所以|z|a2b2 a2（62a）25a224a36 5a1252365，a(2，5)，当 a(2，5)时，5a1252365 365，41，所以|z|的取值范围为6 55，41.
