1、模块终结性评价(120分钟 150分)一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)1复数i32i3 的虚部为()A3 B.3 C3i D2【解析】选 A.因为i32i333i，故虚部为 3.2如图是国家统计局 2019 年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比，2019年 2 月与 2019 年 1 月相比较称环比).根据该折线图，下列结论错误的是()A2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨B2018 年 3 月至 2019 年 3 月全
2、国居民消费价格环比有涨有跌C2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大D2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快【解析】选 C.对于选项 A，由题干图可以看出同比涨跌幅均为正数，故 A 正确；对于选项 B，由题干图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故 B 正确；对于选项 C，由题干图可以看出同比涨幅最大的是 2018 年 9 月份和 2018 年 10 月份，故 C 错误；对于选项 D，从图可以看出 2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快，故 D 正确3已知 cos 22cos，则 tan 4()A4 B4 C13 D13【解析】选 C.因为 cos 22cos，利用诱导
3、公式可得sin 2(cos)，即 tan 2，所以 tan 4tan 4tan 1tan 4tan 1212 13.4设向量 a(0，2)，b(3，1)，则 a，b 的夹角 等于()A3 B6 C23 D56【解析】选 A.因为 a(0，2)，b(3，1)，所以 cos ab|a|b 0 3212212，所以 等于3.5投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是()A 512 B12 C 712 D34【解析】选 C.由题意可知，事件 A 与事件 B 是相互独立的，而事件 A，B 中至少有一件
4、发生的事件包含 A B，A B，AB，又 P(A)12，P(B)16，所以事件的概率为 PPA BPA BP(AB)1PA B1112116 712.6如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，给出以下四个结论：D1C平面 A1ABB1；A1D1 与平面 BCD1 相交；AD平面 D1DB；平面 BCD1平面 A1ABB1，正确的结论个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.由在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可得：在中，因为 D1CA1B，D1C平面 A1ABB1，A1B 平面 A1ABB1，所以 D1C平面 A1ABB1，故正确；在中，因为 A1D1BC，BC 平面 B
5、CD1，A1D1平面 BCD1D1，所以 A1D1 平面 BCD1，故错误；在中，因为ADB45，所以 AD 与平面 D1DB 相交但不垂直，故错误；在中，因为 BC平面 A1ABB1，BC 平面 BCD1，所以平面 BCD1平面 A1ABB1，故正确7已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(ab)2c2ab，B30，a4，则ABC 的面积为()A4 B3 3 C4 3 D6 3【解析】选 C.因为(ab)2c2ab，即 a2b2c2ab.所以 cos Ca2b2c22ab12，所以 C120，又 B30，所以 AB30.即 ab4，故ABC 的面积 S12 ab sin
6、 C12 44 324 3.8已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为()A 26 B 36 C 23 D 22【解析】选 A.根据题意作出图形：已知球心为 O，设过 A，B，C 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC，延长 CO1 交球于点 D，连接 SD，则 SD平面 ABC.因为 CO123 32 33，所以 OO1113 63，所以高 SD2OO12 63，因为ABC 是边长为 1 的正三角形，所以 SABC 34，所以 V 三棱锥 S-ABC13 342 63 26.9AB
7、C 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB 2a，AC 2ab，则下列结论中正确的是()Aa 为单位向量Bb 为单位向量CabD(4ab)BC【解析】选 AD.因为等边三角形 ABC 的边长为 2，AB 2a，所以|AB|2|a|2，所以|a|1，故 A 正确；因为AC AB BC 2aBC，所以BC b，所以|b|2，故 B 错误；由于AB 2a，BC b，所以 a 与 b 的夹角为 120，故 C 错误；又因为(4ab)BC 4ab|b|24121240，所以(4ab)BC，故 D 正确10甲、乙、丙三家企业产品的成本(单位：元)分别为 10 000，12 000，15 0
8、00，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是()A成本最大的企业是丙企业B费用支出最高的企业是丙企业C支付工资最少的企业是乙企业D材料成本最高的企业是丙企业【解析】选 ABD.由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为 10 00060%6 000(元)，支付工资为 10 00035%3 500(元)，费用支出为 10 0005%500(元)；乙企业的材料成本为 12 00053%6 360(元)，支付工资为 12 00030%3 600(元)，费用支出为 12 00017%2 040(元)；丙企业的材料成本为 15 00060%9 000(元)，支付工资为 15 00025%3 75
9、0(元)，费用支出为 15 00015%2 250(元).所以，成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业11(2021新高考 I 卷)已知 O 为坐标原点，点 P1(cos，sin)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，A(1，0)，则()A|1OP|2OP|B|1AP|2AP|COA 3OP 1OP 2OPDOA 1OP 2OP 3OP【解析】选 AC.对于 A：|1OP|cos 2sin 2 1,|2OP|cos 2sin 2 1，所以 A 对；因为|1AP|（cos 1）2sin 2 22cos ，|2A
10、P|（cos 1）2sin 2 22cos ，所以 B 错；因为OA 3OP(1，0)(cos()，sin()cos()，1OP 2OP cos cos sin sin cos()，OA 3OP 1OP 2OP，所以 C 对；而OA 1OP(1，0)(cos，sin)cos，2OP 3OP(cos，sin)(cos()，sin()cos cos()sin sin()cos(2)，所以 D 错12(2021泰安高一检测)如图，点 M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的侧面 ADD1A1上的一个动点，则下列结论正确的是()A点 M 存在无数个位置满足 CMAD1B若正方体的棱长为 1，三棱
11、锥 B-C1MD 的体积最大值为13C在线段 AD1 上存在点 M，使异面直线 B1M 与 CD 所成的角是 30D点 M 存在无数个位置满足 BM平面 B1D1C【解析】选 ABD.对于 A，连接 AD1，A1D，A1C，由正方体的性质可得 AD1A1D，AD1DC，A1DDCD，A1D，DC 平面 A1DC，则 AD1平面 A1DC，当点 MA1D 时，有 CMAD1，故点 M 存在无数个位置满足 CMAD1，故 A 正确；对于 B，由已知，VB-C1MDVM-C1BD，当点 M 与点 A1 重合时，点 M 到面 C1BD的距离最大，则三棱锥 B-C1MD 的体积最大值为 VA1-C1BD
12、13413 12 11113，故 B 正确；对于 C,连接 A1M，因为 CDA1B1，所以A1B1M 为异面直线 B1M 与 CD 所成的角，设正方体棱长为 1，A1Mx，则 B1M2x21，点 A1 到线 AD1 的距离为12122 22，所以 22x1，cos A1B1M1x21x22x21cos 30 32，解得 x 3322，1，所以在线段 AD1 上不存在点 M，使异面直线 B1M 与 CD 所成的角是 30，故 C 错误；对于 D，连接 A1B，BD，A1D，D1C，D1B1，B1C，因为 A1D1BC，A1D1BC，所以四边形 A1BCD1 为平行四边形，则 A1BD1C，因为
13、 A1B平面 B1CD1，D1C 平面 B1CD1，所以 A1B平面 B1CD1，同理可证 DB平面 B1CD1，因为 A1BDBB，A1B，DB 平面 A1BD，所以平面 B1CD1平面 A1BD，若 MA1D，则 MB 平面 A1BD，所以 BM平面 B1D1C，故 D 正确三、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13从分别写有 1，2，3，4，5 的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 的概率为_【解析】从分别写有 1，2，3，4，5 的五张卡片中，任取两张，样本点有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)
14、，(3，5)，(4，5)共 10 个，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 包含的基本事件有：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，共 4 种情况，所以这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 的概率为 P 410 25.答案：2514已知 sin()513，tan 2 12，其中(0，)，2，则 cos _【解析】因为 tan 2 12，故 tan 2tan 21tan 2243，又(0，)，故 0，2.所以 sin 44232 45，cos 34232 35.又 2，故 2，32，又 sin()513，所以 2，.故 cos()1sin 2（）1213.故 cos cos cos
15、 cos sin sin 1213 35 513 45 1665.答案：166515已知，是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_【解析】因为，是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同的直线，若mn，n，则 m.又因为m，所以.即.若，n，则 n.又因为m，所以mn.即.答案：(或)16若ABC 的面积为 34(a2c2b2)，且C 为钝角，则B_；ca 的取值范围是_【解析】因为 SABC 34a2c2b212 ac sin B，所以a2c2b22acsin B
16、3，即 cos Bsin B3，所以sin Bcos B 3，B3，则ca sin Csin A sin 23 Asin A32 cos A12 sin Asin A 321tan A 12，因为C 为钝角，B3，所以 0A03a10，解得：a13.18(12 分)(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加
17、工成本费为 20 元/件厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？【解题指南】(1)根据两个频数分布表即可求出；(2)根据题意分别求出甲、乙两分厂加工 100 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择【解析】(1)由试加工产品等级的频数
18、分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40100 0.4；乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28100 0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为利润6525575频数40202020因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为65402520520752010015.由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为70283017034702110010.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务【加
19、固训练】“中国人均读书 4.3 本(包括网络文学和教科书)，比韩国的 11 本、法国的 20 本、日本的 40 本、犹太人的 64 本少得多，是世界上人均读书量最少的国家”，这个论断被各类媒体反复引用出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天 40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20，30)，30，40)，40，5
20、0)，50，60)，60，70)，70，80后得到如图所示的频率分布直方图问：(1)估计在这 40 名读书者中年龄分布在40，70)的人数；(2)求这 40 名读书者年龄的平均数和中位数；(3)若从年龄在20，40)的读书者中任取 2 名，求这两名读书者年龄在30，40)的人数恰为 1 的概率【解析】(1)由频率分布直方图知，年龄在40，70)的频率为(0.0200.0300.025)100.750，所以，40 名读书者年龄分布在40，70)的人数为 400.75030(人).(2)40 名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154(岁)，设中位
21、数为 x，0.050.10.2(x50)0.030.5，解之得 x55，即 40 名读书者年龄的中位数为55 岁(3)年龄在20，30)的读书者有 2 人，记为 a，b；年龄在30，40)的读书者有 4 人，记为 A，B，C，D，从上述 6 人中选出 2 人，共有如下样本点：(a，b)，(A，B)，(A，C)，(A，D),(B，C)，(B，D)，(C，D)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，共有基本事件数为 15 个，记选取的两名读者中恰好有一人年龄在30，40)中为事件 A，则事件 A 包含的样本点数为 8 个：(a，A)，(a，
22、B)，(a，C)，(a，D)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，故P(A)815.19(12 分)在sin A2sin B，ab6，ab12 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的三角形存在，求出ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a sin AB2c sin A，c3，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】由 a sin AB2c sin A 结合正弦定理可得：sin Asin AB2sin C sin A，因为 sin A0，所以 sin AB2sin C，因为
23、 sin AB2sin(2 C2)cos C2，所以 cos C2 sin C2sin C2 cos C2，因为 cos C2 0，所以 sin C2 12，因为 C0，所以C2 30，所以 C60，由余弦定理得 c2a2b22ab cos C，所以 9a2b2ab.选择条件的解析：根据 sin A2sin B，结合正弦定理得 a2b，联立方程组9a2b2aba2b，解得a2 3b 3，所以ABC 的面积 S12 ab sin C3 32.选择条件的解析：联立方程组9a2b2abab6，化简得：ab9ab6，解得a3b3，所以ABC 的面积 S12 ab sin C9 34.选择条件的解析：由
24、 9a2b2ab2ababab 得 ab9，与 ab12 矛盾，所以问题中的三角形不存在20(12 分)从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 件，每次取出后不放回，连续取两次(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？【解析】(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其可能的结果组成的基本事件空间为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母
25、表示第 2 次取出的产品由 6 个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则 A(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件 A 由 4 个基本事件组成，所以 P(A)46 23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，由 9个基本事件组成由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的用 B 表示“恰有一件次品”这
26、一事件，则 B(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件 B 由 4 个基本事件组成，所以 P(B)49.21(12 分)已知向量 a，b 满足|a|b 1，xab 3 axb1(x0，xR).(1)求 ab 关于 x 的解析式 f(x)；(2)求向量 a 与 b 夹角的最大值；(3)若 ab 且方向相同，试求 x 的值【解析】(1)由题意得xab23axb2，即 x2a22xabb23a26xab3x2b2.又|a|b 1，所以 8xab2x22，所以 abx214x(x0)，即 f(x)14 x1x(x0).(2)设向量 a 与 b 夹角为，则 cos ab|a|b
27、 f(x)14 x 1x22，当 x 1x，即 x1 时，cos 有最小值12，0，故 max3.(3)因为 ab 且方向相同，|a|b 1，所以 ab，所以 ab14(x1x)1，解得 x2 3.22(12 分)四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形，AB4，ABC60，M 为 PB 的中点，N 为 BD 上一点，且 BN13 ND，若 PAPC5，PB 21.(1)求证：MN平面 PAC；(2)求证：PN平面 ABCD；(3)求直线 PN 与平面 PCD 所成角的正弦值【解析】(1)连接 AC，交 BD 于点 O，连接 PO，则BMBP 12 BNBO，所以 MNPO，又 PO 平面 PAC，MN平面 PAC，从而 MN平面 PAC.(2)连接 PN，因为 PAPC，O 是 AC 中点，所以 POAC，又 PAPC5，AO2，所以 PO 21 PB，又 N 是 BO 中点，所以 PNBD，且易求 PN3 2，NC 7，所以 PN2NC2PC2，从而 PNNC，又 BDNCN，所以 PN平面 ABCD.(3)设 N 到平面 PCD 的距离为 h，PN 与平面 PCD 所成角为，则 sin hPN，因为 VN-PCDVP-NCD，所以 SPCDhSNCDPN，计算可得 SNCD3 3，PD3 5，所以 SPCD3 11，又因为 PN3 2，所以 h3 611，从而 sin 3311.
